Algèbre linéaire

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Ben314
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Algèbre linéaire

par Ben314 » 26 Fév 2020, 16:44

Salut à tous.
Une petite énigme d'algèbre linéaire :

Soit un corps et un entier naturel.
Il est bien clair que, quelque soit la matrice et quelque soient les polynômes , les matrices et commutent (i.e. ).
Mais réciproquement, si deux matrices commutent, existe t'il (au moins) une matrice et deux polynômes , tels que et ?
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GaBuZoMeu
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Re: Algèbre linéaire

par GaBuZoMeu » 26 Fév 2020, 20:00

Question intéressante.

J'aurais envie de répondre non, mais ce n'est qu'une envie. En tout cas, si A et B sont diagonalisables, c'est assez trivialement vrai, donc pour un contre-exemple il faut chercher du côté non diagonalisable. Ça demande plus de réflexion, je n'en ai pas le temps pour le moment mais je garde ça dans ma pile.

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 03 Mar 2020, 18:06

Alors ?

ffback
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Re: Algèbre linéaire

par ffback » 03 Mar 2020, 21:54

Pour K=C, il ne me semble pas impossible que ce soit vrai, faut que je pense plus. Mais dans le cas général, avec par ex K=C(X,Y), ça m'étonnerait que les matrices et soient des polynomes d'une même matrice

GaBuZoMeu
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Re: Algèbre linéaire

par GaBuZoMeu » 03 Mar 2020, 22:15

ffback a écrit:Pour ... K=C(X,Y), ça m'étonnerait que les matrices et soient des polynomes d'une même matrice

Soit , , . Que vaut ? ?

ffback
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Re: Algèbre linéaire

par ffback » 03 Mar 2020, 22:20

Oui, je revenais pour effacer mon message mais tu as été trop rapide

Skullkid
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Re: Algèbre linéaire

par Skullkid » 05 Mar 2020, 01:25

Bonsoir,

Je n'ai pas de solution mais peut-être un argument/début de piste vers une réponse négative. Comme on peut toujours ramener le degré d'un polynôme en M à n-1 ou moins quitte à diviser par le polynôme caractéristique, on peut considérer les coefficients de P, Q et M comme n²+2n inconnues. Mais exiger A = P(M) et B = Q(M) revient à écrire 2n² équations, donc on se retrouve avec 2n-n² "degrés de liberté", qui devient vite très négatif quand n augmente (et indiquerait qu'on devrait pouvoir trouver des contre-exemples avec n = 3 ou 4).

Il y a au moins deux objections raisonnables à cet argument. Déjà les 2n² équations ne sont pas linéaires donc c'est un peu fumeux de parler de degrés de liberté comme si on parlait de dimension. Ensuite, la commutativité des A et B se traduit justement en n² contraintes sur les paramètres de mon système, qui pourraient venir mettre suffisamment de redondance. Mais bon, j'ai quand même l'impression que ce serait sacrément miraculeux.

Du coup je pense qu'il doit y avoir moyen d'arriver à quelque chose avec un argument de dimensionnalité. Comme la dimension de est au plus n, il faudrait trouver un espace vectoriel lié à A et B qui soit trop gros pour être inclus dedans, et là je sèche... Le premier truc qui me vient à l'esprit c'est , mais a priori rien ne force M à être dedans...

En espérant faire avancer le schmilblick.

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 05 Mar 2020, 11:52

Il suffit de prendre l'ensemble des matrices diagonales par 4 blocs de même taille n/2 :

On prend sur une diagonale P(A) avec A une matrice n/2*n/2, de polynôme minimale avec un degré de n/2

On prend sur l'autre diagonale Q(A), avec Q et P parcours tout les polynômes réels possibles.

Alors cette ensemble est un ev, de dim n/2*n/2 dont les matrices commutent, on choisit n de manière à ce que n/2*n/2>n.

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Re: Algèbre linéaire

par GaBuZoMeu » 05 Mar 2020, 12:25

Euh, Idriss, j'ai du mal à te suivre. peux-tu être plus précis ?

@Skullkid : je doute.

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 05 Mar 2020, 12:34

Je nie un résultat plus fort que celui que propose Ben (au lieu de comparer 2 matrices on compare un ensemble fini générateur d'un ev), mais je pense que les 2 résultats sont équivalents.

Je vais y réfléchir.

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Re: Algèbre linéaire

par GaBuZoMeu » 05 Mar 2020, 13:17

Rien compris. Pourquoi ne veux-tu pas préciser ?

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 05 Mar 2020, 13:40

Je ne sais pas ce que tu n'as pas compris. Peux-tu préciser le premier passage que tu n'as pas compris ?

Skullkid
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Re: Algèbre linéaire

par Skullkid » 05 Mar 2020, 15:34

GaBuZoMeu a écrit:@Skullkid : je doute.


C'est très sain, je ne peux t'en vouloir.

Je crois que j'ai trouvé un contre-exemple. et . On a donc est de dimension 3. Du coup si M existe elle vérifie forcément , et en particulier . Mais comme toutes les matrices de sont annulées par un polynôme de la forme , il en découle que la dimension de est au plus 2 et on a gagné.

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 05 Mar 2020, 15:57

Bien vu

GaBuZoMeu
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Re: Algèbre linéaire

par GaBuZoMeu » 05 Mar 2020, 19:38

Là je ne doute plus, Skullkid.

Pour Idriss : ou bien je ne comprends pas la description de ton espace de matrices, ou bien ton calcul de dimension est faux (la dimension d'une somme directe n'est pas le produit des dimensions).

Idriss
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Re: Algèbre linéaire

par Idriss » 05 Mar 2020, 20:05

GaBuZoMeu a écrit:ton calcul de dimension est faux (la dimension d'une somme directe n'est pas le produit des dimensions)


Mais oui, tu as raison, j'ai fait une erreur.

 

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