Bonsoir,
Je n'ai pas de solution mais peut-être un argument/début de piste vers une réponse négative. Comme on peut toujours ramener le degré d'un polynôme en M à n-1 ou moins quitte à diviser par le polynôme caractéristique, on peut considérer les coefficients de P, Q et M comme n²+2n inconnues. Mais exiger A = P(M) et B = Q(M) revient à écrire 2n² équations, donc on se retrouve avec 2n-n² "degrés de liberté", qui devient vite très négatif quand n augmente (et indiquerait qu'on devrait pouvoir trouver des contre-exemples avec n = 3 ou 4).
Il y a au moins deux objections raisonnables à cet argument. Déjà les 2n² équations ne sont pas linéaires donc c'est un peu fumeux de parler de degrés de liberté comme si on parlait de dimension. Ensuite, la commutativité des A et B se traduit justement en n² contraintes sur les paramètres de mon système, qui pourraient venir mettre suffisamment de redondance. Mais bon, j'ai quand même l'impression que ce serait sacrément miraculeux.
Du coup je pense qu'il doit y avoir moyen d'arriver à quelque chose avec un argument de dimensionnalité. Comme la dimension de
est au plus n, il faudrait trouver un espace vectoriel lié à A et B qui soit trop gros pour être inclus dedans, et là je sèche... Le premier truc qui me vient à l'esprit c'est
, mais a priori rien ne force M à être dedans...
En espérant faire avancer le schmilblick.