Famille génératrice

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stephsay
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Famille génératrice

par stephsay » 26 Fév 2020, 01:44

Bonjour à tous,

Je me permets de vous écrire car j'essaie de faire des exercices pour m'entrainer mais j'ai un peu de mal.
Je remercie les personnes qui pourront m'aider.
Voici l'énoncé:
Soit G=(G1,..,Gn) une famille génératrice d'un espace vectoriel E. Démontrer que si un vecteur Gk s'exprime en fonction des autres, alors la famille G'=G\{Gk} obtenue à partir de G en ôtant le vecteur Gk est toujours génératrice.

J'ai écrit celà mais j'avoue ne pas trop savoir quoi en faire pour l'utiliser dans l'énoncé:
G= (G1,..,Gn)
Pour tout G appartenant à E, il existe lambda 1, ..., lambda n appartenant à K tel que G=lambda1*G1+...+lambdan*Gn .
E=Vect(G1,...,Gn)



Yezu
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Re: Famille génératrice

par Yezu » 26 Fév 2020, 02:51

Salut,

Écris au long la définition d'une famille génératrice puis écris au long le fait qu'un certain vecteur s'exprime comme combinaison linéaire des autres vecteurs de . La réponse devrait sauter aux yeux, mais si tu ne le vois; n'hésite pas à poster l'endroit où tu cales !

stephsay
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Re: Famille génératrice

par stephsay » 26 Fév 2020, 17:59

J'avoue être un peu confuse, j'ai essayé de faire quelque chose d'après votre message.
Vu qu'on sait que G est une famille génératrice d'un espace vectoriel E, on peut écrire G comme celà (définition d'une famille génératrice) :
G= (G1,..,Gn)
Pour tout G appartenant à E, il existe lambda 1, ..., lambda n appartenant à K tel que G=lambda1*G1+...+lambdan*Gn
E=Vect(G1,...,Gn)
On pose G=(x,y,z)
On a G=lambda1*G1+...+lambdan*Gn
donc (x,y,z)=lambda1*(x1,y1,z1)+...+lambdan*(xn,yn,zn)
x=(lambda1*x1)+...+(lambdan*xn)
y=(lambda1*y1)+...+(lambdan*yn)
z=(lambda1*z1)+...+(lambdan*zn)

Après je ne sais pas trop quoi faire..

tournesol
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Re: Famille génératrice

par tournesol » 26 Fév 2020, 23:04

Tu désignes par G la famille génératrice . Tu ne peut plus désigner par G un vecteur de E .
Tu notes (x,y,z) un vecteur de E comme si E est de dimension 3 , ce qui n'est pas nécessaire .

Rappel : Vect(A) est le plus petit sev de E qui contient A .
Supposons que Gk soit combinaison linéaire des autres vecteurs .
Gk appartient donc à Vect(Gi) ,i different de k , espace que je note F .
Mais chaque Gi , pour i différent de k , appartient à F .
On a donc Vect(G) inclus dans F .
Mais F est inclus dans Vect(G)
Donc F=Vect(G)=E .

tournesol
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Re: Famille génératrice

par tournesol » 27 Fév 2020, 01:22

J'oubliais un résultat simple mais utile pour comprendre:
A inclus dans B entraine que Vect(A) inclus dans Vect(B)

stephsay
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Re: Famille génératrice

par stephsay » 28 Fév 2020, 19:33

Bonjour,
Je pense avoir compris votre commentaire mais ça reste un peu flou encore, je n'arrive pas à voir comment je peux arriver à la conclusion que la famille G'=G\ {Gk} obtenue à partir de G en ôtant le vecteur Gk est toujours génératrice.

GaBuZoMeu
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Re: Famille génératrice

par GaBuZoMeu » 28 Fév 2020, 20:12

Ce que tu as écrit plus haut est très confus. Essayons de remettre un peu d'ordre.
est une famille génératrice de l'espace vectoriel . Cela veut dire que tout élément de est combinaison linéaire des vecteurs de la famille , autrement dit pour tout élément de il existe des scalaires tels que .
On suppose que est combinaison linéaire des autres vecteurs de . Il existe donc des scalaires tels que .
On te demande de prouver que la famille privée de est encore génératrice, c.-à-d. que pour tout élément de il existe des scalaires tels que .

tournesol
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Re: Famille génératrice

par tournesol » 28 Fév 2020, 20:15

Vect(G') , je l'ai appelé F .
On te dit que Gk est cl des autres vecteurs. Cela veut dire que Gk appartient à F .
Donc tous les vecteurs qui engendrent E sont dans F
Donc E est inclus dans F .
Mais comme F est inclus dans E , on a E=F .

stephsay
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Re: Famille génératrice

par stephsay » 29 Fév 2020, 21:31

D'accord j'ai compris, Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer.

 

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