Géométrie - Olympiade Belge 3ème-Seconde

[mastow]

Bonjour, sans vous donnez trop de contexte, je cale sur un problème d'une ancienne Olympiade Mathématique Belge (2009, demi finale, MIDI).
Le voici : https://imgur.com/a/rPxqS1d
Je connais déjà la réponse (A) mais je n'ai aucune idée sur le raisonnement mathématique que l'on doit faire.
En effet il est possible de le résoudre avec une règle, un rapporteur et un crayon, en respectant bien les mesures, mais je souhaitais quand même avoir un vrai raisonnement.
Merci d'avance de votre aide.

[GaBuZoMeu]

Les trois triangles sont isocèles, les côtés égaux ont même longueur que le côté du carré et l'angle au sommet A est de 30°. On calcule facilement l'aire des triangles. Connais-tu le sinus de 30° ?

[mastow]

Hmmm, j'avais en effet remarqué que beaucoup de côtés avaient la même longueur, mais je ne vois pas comment le sinus peut m'aider. J'ai cherché, il vaut 0.5 mais je ne sais pas quelle formule utiliser. Je connais Al-Kashi mais cette formule fonctionne avec le cosinus. Merci déjà pour ton aide .

[Lostounet]

Salut,

Dans le triangle ADF, soit h la hauteur issue de D. L'aire du triangle est donc AF*h/2.
Soit H le pied de la hauteur.

On a donc que le triangle ADH est rectangle en H, donc sin(A) = DH/AD
mais AD = 6, donc DH = 6 *sin(30)

Ainsi, la hauteur h = 6*sin(30)

Donc l'aire du traingle vaut AF*6*sin(30)/2
donc 18*sin(30) ...

En multipliant le résultat par 3 on trouve l'aire du polygone entier.


Une autre façon moins rigoureuse mais valable s'il y a beaucoup d'exercices en peu de temps: considère que le polygone a une aire proche de celle d'un quart de cercle d'aire pi*6^2/4 ~ 28.27
Et 28.27/36 ~ 0.78 (A la plus proche)

[mastow]

Un grand merci à vous deux! je n'avais pas pensé à utiliser la hauteur DH.