Fonction paire et impaire

[Digoho]

Svp aider moi
C’est un ex donner par mon professeur :

On considère les types des fonctions suivantes:

• affine x —> ax+b
•polynôme du second degré x —> ax(au carré) +bx+c
•homographique x —> ax+b/ cx+d
•polynôme du troisième degré x—> ax(au cube) +bx(au carré) + cx + d


Pour chaque type, à quelle condition a-t-on:

-une fonction paire ? -une fonction impaire ?

[Black Jack]

Salut,

Voila pour le 1er :

f(x) = ax+b

f(-x) = -ax + b

Fonction paire si f(x) = f(-x), donc si ax+b = -ax + b
2ax = 0 pour tout x de R ---> Si a = 0

Fonction impaire si f(x) = -f(-x), donc si ax+b = -(-ax + b)
ax+b = ax - b
2b = 0 --> Si b = 0

La fonction affine x--> ax + b est :
- paire si a = 0
- impaire si b = 0
- ni paire, ni impaire si a et b sont différents de 0
***********
Inspire-toi de ce qui a été fait pour essayer de faire toi-même ceux qui suivent.

[Digoho]

Pour le polynôme du second degré :
Paire
a et b =0

Impaire

a et c=0

Pour la fonction homographique :
Paire
a=0


Impaire
b ; c et d =0

Fonction polynôme troisième degré
Paire
c=0

Impaire
b et d =0

[Black Jack]

Presque rien de correct.

[Digoho]

Svp aidez moi j’ai passé m’ matinée à chercher..

[akiwhite]

Pour le polynôme du second degré :
Paire
f(-x) = ax² - bx + c et f(x) = ax² + bx + c.
Quand a-t-on f(x) = f(-x) ?

et bien lorsque ax² - bx + c = ax² + bx + c.
donc lorsque 2bx = 0, donc b = 0 !
Pourquoi as tu écris a et b = 0 ?

[akiwhite]

Reproduis cette méthode a la lettre pour le reste ! Black Jack t'as pourtant déjà donné la méthode.

[Digoho]

Merci beaucoup je vient enfin de comprendre parceque le cours qu’il m’a donné il n’y avait pas c’est formule.
Il y avait comme formule :

f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)

Il manquait selle-la

f(x)= -f(-x)

Je fait les exercices je vous tiens aux courant pour les réponses.
Cordialement

[Digoho]

Pour le polynôme du second degré :
Paire
b =0

Impaire

a et c=0

Pour la fonction homographique :
Paire
a ; c et d =0
Impaire
b et d =0

Fonction polynôme troisième degré :
Paire
a et c=0

Impaire
b et d =0

[Black Jack]

Pour le polynôme du second degré :
Paire
b =0 (OK)

Impaire

a et c=0 (Si a = 0 on n'a plus un polynôme du second degré et donc ...)

Pour la fonction homographique :
Paire
a ; c et d =0 (non, cela reviendrait à diviser par 0)
Impaire
b et d =0 (non, cela correspondrait à f(x) = ax/(cx) soit f(x) = a/c sur R/{0})

Fonction polynôme troisième degré :
Paire
a et c=0 (Si a = 0 on n'a plus un polynôme du 3eme degré)

Impaire
b et d =0 (OK)

[Digoho]

Pour le polynôme du second degré :
Paire
b =0

Impaire
Donc une fonction du polynôme du second degré et jamais impaire

Pour la fonction homographique :
Paire
il y a 2 conditions possibles : a et c= 0 ou b et d =0
Impaire
a=0

Fonction polynôme troisième degré :

Paire
Donc une fonction polynôme du troisième degré est jamais paire

Impaire
b et d =0

Svp dites-moi si c’est juste et encore merci beaucoup pour m’avoir aider à comprendre

[Black Jack]

C'est mieux sauf pour la fonction homographique, c'est un poil plus tordu.

f(x) = (ax+b)/(cx+d)
f(-x) = (-ax+b)/(-cx+d)

fonction paire si f(x) = f(-x)
soit : (ax+b)/(cx+d) = (-ax+b)/(-cx+d)
(ax+b)*(-cx+d) = (-ax+b)*(cx+d)
-ac.x² + (ad-bc)x + bd = -acx² + (-ad+bc)x + bd
(ad-bc) = (-ad+bc)
---> ad = bc ... mais alors f est une fonction constante (a/c ou b/d) dans R/{-d/c})

En effet : ad = bc --> d = bc/a (si a est diff de 0)
et alors : (ax+b)/(cx+d) = (ax+b)/(cx+ bc/a) = a.(ax+b)/(acx+ bc) = a.(ax+b)/(c.(ax+ b)) = a/c
Et dans le cas où a = 0, soit b = 0 (et f est la fonction nulle) ou bien c = 0 et alors :
(ax+b)/(cx+d) = b/d
Et dans le cas où c=d=0, f n'est pas défini (on divise par 0)

fonction impaire si f(x) = -f(-x)
soit : (ax+b)/(cx+d) = -(-ax+b)/(-cx+d)
(ax+b)*(-cx+d) = -(-ax+b)*(cx+d)
-ac.x² + (ad-bc)x + bd = acx² - (-ad+bc)x - bd
-2ac.x² + 2(ad-bc)x + 2bd= 0

ac = 0
bd = 0
ad = bc
Soit uniquement pour f la fonction nulle (qui est à la fois paire et impaire)

Rien vérifié.

[akiwhite]

Merci beaucoup je vient enfin de comprendre parceque le cours qu’il m’a donné il n’y avait pas c’est formule.
Il y avait comme formule :

f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)

Il manquait selle-la

f(x)= -f(-x)

Je fait les exercices je vous tiens aux courant pour les réponses.
Cordialement

Salut, il faut aussi que tu comprennes que f(-x) = -f(x) veut dire la meme chose que f(x)= -f(-x) :
en multipliant par -1 de chaque coté f(-x) = -f(x) on obtient f(x)= -f(-x) !

Par ailleurs tu aurais pu utiliser f(-x) = -f(x), les résultats reviendraient au meme que f(x)= -f(-x).

[Digoho]

Merci beaucoup je vous remercie Black Jack et akiwhite de m’avoir aidé à comprendre l’exercice et les formules.

Vous m’avez vraiment aidé merci beaucoup d’avoir prit de votre temps

[akiwhite]

Pas de soucis

[mathelot]

bonsoir,
on a le théorème suivant:
une fonction f est la somme de manière unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

existence
supposons f définie sur un intervalle I, symétrique par rapport à l'origine:


en posant et
p() est paire, i() est impaire et f=p+i

unicité
supposons deux décompositions
où est une fonction paire et une fonction impaire
on a
est donc à la fois paire et impaire; c'est donc la fonction nulle.
et

[mathelot]

Une fonction f est donc paire si et seulement si sa partie impaire est identiquement nulle. De même
une fonction f est donc impaire si et seulement si sa partie paire est identiquement nulle.

fonction affine
et
fonction trinôme
et
fonction polynôme de degré 3
et

[mathelot]

en ce qui concerne la fonction homographique,



calculons sa partie paire



après calculs



f est impaire si sa partie paire est nulle:

f est impaire ssi
(b=0 ou d=0) et (a=0 ou c=0)

1er cas: b=0 et a=0 f(x)=0
2eme cas: b=0 et c=0 f(x)= (a/d)x
3eme cas: d=0 et a=0 f(x)=b/(cx)
4eme cas d=0 et c=0 impossible

calculons sa partie impaire:



après calculs:



f est paire ssi ad=bc , ce qui conduit aux différents cas:

1er cas: a =0 et b= 0 f=0 f est nulle
2ème cas: a=0 et c=0 alors f=b/d
3ème cas: et c=0 impossible
4èeme cas: et f=a/c

[Black Jack]

fonction homographique

"f est paire ssi ad=bc , mais alors f(x)=a/c"

C'est faux si a = c = 0, dans ce cas f(x) = b/d

[Black Jack]

Je corrige une de mes réponses (faute de signe qui entraîne un "oubli" de solutions):

(ax+b)/(cx+d) = -(-ax+b)/(-cx+d)

fonction impaire si f(x) = -f(-x)
soit : (ax+b)/(cx+d) = -(-ax+b)/(-cx+d)
(ax+b)*(-cx+d) = -(-ax+b)*(cx+d)
-ac.x² + (ad-bc)x + bd = acx² - (-ad+bc)x - bd
-2ac.x² + 2bd= 0

ac = 0
bd = 0

Soit uniquement pour f la fonction nulle (qui est à la fois paire et impaire)

avec les possibilités :

a) a = 0 et b = 0 qui donne f(x) = 0 (fonction nulle)
b) c = 0 et d = 0 : interdit car division par 0
c) a = 0 et d = 0 --> f(x) = b/(cx)
d) b = 0 et c = 0 --> f(x) = (a/d)*x