Famille libre polynômiale dans K[X]

[Chab]

Bonjour,
j'ai quelques difficultés pour montrer que si A et B sont des polynômes à coefficients constants premiers entre eux et non constants, la famille est libre dans K[X].

On montre facilement que si alors tous les polynômes de la famille ont des degré différents (et cela même si A et B ne sont pas premiers entre eux) et que donc la famille est libre.

Mais pour , les polynômes ont tous le même degré et je n'arrive pas à démontrer la propriété. J'ai regardé avec les caractéristiques classiques des familles libres () mais impossible de trouver un bon angle d'attaque.

Merci d'avance pour vos idées

[GaBuZoMeu]

Il convient d'utiliser l'hypothèse "premiers entre eux".
Suppose qu'il existe une relation de dépendance linéaire et regarde si ça ne contredit pas cette hypothèse.

Au fait, "polynomiale" ne prend pas d'accent circonflexe. "Polynôme", si.

[tournesol]

Je n'ai pas compris la définition des polynômes "à coefficients constants premiers entre eux et non constants"
non constants , c'est clair: deg>0 .
Premiers entre eux , c'est clair aussi quand ça se rapporte aux polynômes .
Si ça se rapporte aux coefficients constants , ils sont dans un anneau factoriels mais pas dans un corps ?

[tournesol]

Premiers entre eux dans leur ensemble ou deux à deux ?

[GaBuZoMeu]

Je comprends : A et B sont des polynômes de K[X] (à coefficients dans K, le corps des constantes), premiers entre eux. On se pose une question d'algèbre linéaire dans le K-espace vectoriel K[X].
Pour deux polynômes, je ne vois pas bien la différence entre "premiers entre eux deux à deux" et "premiers entre eux dans leur ensemble".

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu d'avoir ravaudé ma raquette .