Maths spé, nombres premiers

[Flams]

Bonjour,
J’ai un DM de maths spé à rendre, et je bloque sur la dernière question d’un exercice.
Voici l’énoncé :
1) soit P, un nombre premier. Soit x appartient à Z. Soit d = pgcd(p;x). Montrez que d=1 et d=p.
2) en déduire que soit pgcd(p;x)=1, soir p divise x
3) Soit x un entier non divisible par p. Montrer alors qu’il existe au moins un entier u tel que xu=1(mod p)
4) montrez qu’il existe un unique entier x’ compris entre 1 et p-1 tel que xx’=1(mod p). (On cherche ici à montrer l’unicite)
5) Déterminer les entiers x compris entre 1 et p-1 tels que x’=x

Je pense avoir la solution des 4 premières questions mais je n’arrive pas à la 5...
Je pense que je ne comprends pas ce que l’on nous demande... on ne peut pas énoncer les cas particuliers (il y a une infinité de nombres premiers) donc on nous demande l’expression de x en fonction de p ? Dans ce cas, si xx’=1(mod 1) alors x^2=1(mod1) alors x = racine(kp+1)
Mais 1<kp+1<(p-1)^2
Donc 0<k<p-2
Je ne sais pas du tout si je suis sur la bonne voix ou pas du tout...
Merci d’avance pour vos réponses.

[Tuvasbien]

Si alors donc puis . Comme est premier, ou . Comme , on a ou . Si réciproquement ou , alors je te laisse vérifier que et comme par unicité .

[Flams]

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Je pense avoir compris la démarche, cependant j’ai une petite question. Pourquoi comme p est premier, il divise soit x-1 soit x+1 ? Je ne vois pas le lien avec le fait qu’il soit premier...
Merci.

[Tuvasbien]

Il s'agit du lemme d'Euclide : si est un nombre premier tel que alors ou . Il se déduit du lemme de Gauss : si alors c'est fini, si ne divise pas alors et sont premiers entre eux (si est le pgcd de et alors et étant premier, on a ou . Comme de plus , alors donc ). En résumé et et sont premiers entre eux, d'après le lemme de Gauss .

[Flams]

D’accord merci.
Comme la lemme d’Euclide ne figure pas dans mon cours si je précise juste que si un nombre premier divise un produit de deux nombres alors il divise l’un de ces deux nombres, est-ce suffisant ?
Merci pour votre réponse et votre temps.