Continuité et suites de fonctions

[anamani]

Bonsoir,

Je sais que ceci est vrai :
Soit (fn) une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f,
alors f est continue

Mais ma question porte plutôt sur l'autre sens :
si (fn) converge uniformément et si f est continue, les fn sont-elles nécessairement continues ?

Autrement dit, dans l'hypothèse de la convergence uniforme, la continuité de la limite simple implique-t-elle la continuité des fn ?

Merci d'avance

[Tuvasbien]

La réponse est non, tu es censé savoir que toute fonction continue est approchable uniformément par une fonction en escalier sur un segment, or les fonctions en escalier ne sont pas continues.

[tournesol]

Soit une suite de fonctions bornées sur A .
Alors la suite converge uniformément sur A vers la fonction nulle .

[sofianmakhlouf]

Contre exemple
fn(x)=1/n si x>0
fn(x)=0. sinon

La suite CU vers l'application nulle qui est continue sur IR
Mais les FN ne sont pas continues en 0.

[tournesol]

Une suite de fonctions discontinues en tout point qui converge uniformément vers la fonction nulle :