Monotonie suite intégrale

[abc2001]

Bonjour,
Je dois étudier la monotonie et déterminer la limite de la suite (In)n≥1 :
____1
In = ∫ ((t^kn) / (1+t^k)) dt (k appartenant à N* et n appartenant à N*)
____ 0
J'ai commencé par calculer In+1 - In et j'ai obtenu :
___________1
In+1 - In = ∫ t^kn * ( ((t^k) -1) / ((t^k) +1) ) dt
___________0
J'ai commencé à faire une ipp mais rien de concluant...
Pensez-vous que je suis sur la bonne voie ?

Merci pour vos réponses !

[Mateo_13]

Bonjour abc2001,

(k appartenant à N* et n appartenant à N*)
J'ai commencé par calculer et j'ai obtenu :

Tu dois étudier le signe de , sans avoir besoin de sa valeur.
Que penses-tu di signe de chacun des facteurs du quotient sur [0 ; 1] ?
Peux-tu en déduire le signe de l'intégrale, sans avoir à la calculer ?

Cordialement,
--
Mateo.

[Mateo_13]

Je voulais écrire le signe de :

[abc2001]

merci pour votre réponse.

sur [0,1], t^k +1 > 0 et t^kn(t^k -1) ≥ 0
donc In+1 - In ≥ 0, (In) croissante ?

[Mateo_13]

En es-tu sûre ? Pars de 0 < t < 1 et procède en deux étapes.

[Mateo_13]

En es-tu sûr ?

[abc2001]

ah non !
t^k - 1 ≤ 0 ?

[Mateo_13]

Tu peux le voir sur un graphique de la courbe de x^2 et de x^3 par rapport à f(x) = x sur [0 ; 1]

[abc2001]

oui, merci !
et dernière question, pour la limite, je peux montrer que la suite est minorée puis qu'elle converge ?