en créant un sujet de bac, je me demandais quelles sont les entiers naturels
Avec un autre point de vu, si vous préférez, quel est l'intersection des ensembles
Il y a par exemple n=1 avec p=3 ou n=22 avec p=9 comme solutions mais j'ai l'impression que ce sont les seules et j'aimerai justement le montrer …
Avec Python, en testant
A = { n(n+1) for n in range(10000000) }
B = { 2**p - 6 for p in range(100) }
A.intersection(B)
je trouve {2,506} (2 = 1*2 et 506 = 22*23), ce qui semble confirmer le fait qu'il y aurait que deux solutions.
Quelques pistes :
- en raisonnant modulo 3, on voit rapidement que p impair est une condition nécessaire ;
- en calculant le discriminant de l'équation associée, on voit aussi que 2^(p+2) - 23 doit être au moins un carré parfait et en étudiant les restes possibles, on peut voir que 2^(p+1) vaut 1 ou 4 mod 5 si je me trompe pas mais bon, ça ne fait pas trop avancer le schmilblick
Une idée ?
Merci
