Primitive "casse tête"

[nythostyle]

Salut à tous, est-ce que l'un de vous est d'attaque pour m'aider à résoudre une primitive que je trouve à titre personnel assez complexe? J'ai la réponse mais je trouve le développement assez tordu et j'essaie de voir si il n'y a pas d'autres moyens d'y arriver.

[Skullkid]

Bonsoir,

Je suppose que le développement tordu dont tu parles consiste à décomposer l'intégrande en éléments simples, c'est-à-dire à écrire



Ça peut paraître tordu mais cette méthode a l'avantage d'être systématique (ce qui lui vaut par exemple d'être implémentée dans tous les logiciels de calcul formel). Et dans le cas présent, vu la tête des éléments simples je ne pense pas qu'il y en ait d'autres...

[nythostyle]

J'ai du mal à voir comment tu es arrivé à cette décomposition est-ce qu'il serait possible que tu postes les étapes par lesquelles tu es passé s'il te plaît?

[pascal16]

c'est une technique valable pour les fractions rationnelles vues... en prépa ou dans quelques grands lycées parisiens.

Sinon, l'exo doit te guider

(ta fraction)= x+1+(une fraction de degré 1 max en haut sans doute du type u'/u)

et ça, tu sais l'intégrer

[Black Jack]

Salut,

Comment arriver aux coefficients "tordus" ... tout naturellement, méthode classique.

(x³+2x-1)/(x²+x+2) = (x-1) + (x+1)/(x²+x+2) (qu'on trouve par division euclidienne, que l'on fait TOUJOURS avec un rapport de 2 polynômes dont le degré au numérateur >= à celui du dénominateur)

on s'arrange pour mettre (x+1)/(x²+x+2) sous forme facilement intégrable.
(x³+2x-1)/(x²+x+2) = (x-1) + (1/2).(2x+1+1)/(x²+x+2)

(x³+2x-1)/(x²+x+2) = (x-1) + (1/2).(2x+1)/(x²+x+2) + (1/2)/(x²+x+2)

S (x³+2x-1)/(x²+x+2) dx = x²/2 - x + 1/2 * ln(x²+x+2) + 1/2 S dx/(x²+x+2)
---
S dx/(x²+x+2) ... on renifle l'arctan() et on s'arrange par un changement de variable pour y arriver :

S dx/(x²+x+2) = S dx/[(x+ 1/2)² + 7/4]
Poser (x+ 1/2) = (V7)/2 * u (changement de variable)
dx = (V7)/2 * du

S dx/(x²+x+2) = (V7)/2 S du/((7/4) * (u²+1)) = (2/V7).arctan(u) = (2/V7).artan((2/V7)*(x+1/2))
---
S (x³+2x-1)/(x²+x+2) dx = x²/2 - x + 1/2 * ln(x²+x+2) + 1/V7 * arctan((2/V7)*(x + 1/2))

[nythostyle]

Merci BlackJack, j'ai enfin compris ce que je cherchais à comprendre je vais me relancer dessus ce soir !