Indépendance des variables aléatoires

[pringuez]

Bonjour,

Soit une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi sur , de densité et de fonction de répartition .
Pour , soit .

1) Je dois montrer que les variables aléatoires sont indépendantes.
Y-a-t-il un moyen "assez simple" de voir cela sans calculer pour .
J'ai d'abord voulu montrer que , mais j'ai l'impression que mon calcul revient à supposer l'indépendance des 2 variables (alors que c'est justement ce que l'on veut montrer)...

2) Je dois aussi montrer que suit la loi uniforme sur .
Sauf que, quand je fais le calcul, je trouve :
.
Pour ,

Par suite; .
Bref, ça a plus une tête de loi binomiale que de loi uniforme sur tout ça...
Autre problème : la proba trouvée dépend de ...
J'aurais bien aimé faire une formule des probas totales, mais n'est a priori pas une variable discrète...

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), je ne vois pas d'astuce donc à mon avis il faut faire un calcul pas totalement immédiat (en fait du dénombrement).
Le seul truc qui me vient à l'esprit qui pourrait peut-être simplifier le raisonnement, c'est de considérer que et d'évaluer la proba. que sachant que pour voir si on trouve que c'est égal à , c'est à dire .

Concernant le 2), je sais pas ce que tu fout avec tes (qui en plus n'ont pas vraiment de sens vu que c'est une variable aléatoire).
Concernant la loi des , la seule chose utile ici (en plus de l'indépendance) c'est de savoir que la loi est continue ce qui implique que pour , et donc que et, plus généralement, la proba que soient rangés dans un ordre donné est de . Par exemple, .
Et avec ça tu peut facilement calculer qui est en fait la proba que soit le -ième élément de la série triée (dans l'ordre décroissant)

[GaBuZoMeu]

Quelques pistes :

prend ses valeurs dans . Il y a donc valeurs possibles pour et ces possibilités sont en bijection avec les permutations de : à une permutation on associe les valeurs des données par l'événement .
Il est assez clair que les sont équiprobables, n'est-ce pas ?

Bon ça revient en gros à ce que dit Ben à la fin de son message.

[pringuez]

ce que tu fout avec tes (qui en plus n'ont pas vraiment de sens vu que c'est une variable aléatoire).
Concernant la loi des , la seule chose utile ici (en ^mus de l'indépendance) c'est de savoir que la loi est continue ce qui implique que pour , et donc que .
Et, plus généralement, la proba que soient rangés dans un ordre donné est de (par exemple, )

Merci pour ta réponse.
Comment justifier le fait pour lorsque la loi des est continue ? Et aussi que, du coup, ?
Encore une fois, j'aimerais écrire une sorte de formule des probas totales pour montrer ça, mais ça ne marche justement pas pour les lois continues...

P.S. : Mon idée avec les fonctions de répartition était de dire:
- Il y a façons de choisir dans ;
- est la proba que soit inférieur ou égal à ;
- est la proba d'être strictement supérieur à .
Mais c'est vrai qu'une proba qui dépend à la fin de la variable aléatoire n'a pas beaucoup de sens, j'en conviens...

[Ben314]

Comment justifier le fait pour lorsque la loi des est continue ?

Ca, c'est du B-A-BA de la notion de proba : vu les hypothèses, la proba que le couple soit dans une partie donnée c'est et comme l'ensemble est de mesure (de Lebesgue) nulle, c'est que

Et aussi que, du coup, ?

On a évidement où le terme central est nul (c.f. çi dessus) et où, pour des raison de symétrie (et au fait que les sont indépendant et identiquement distribués) , les deux autres sont égaux.

[GaBuZoMeu]

Il me semble que la piste que j'ai indiquée donne le 1 sans calcul, non ?

[Ben314]

Il me semble que la piste que j'ai indiquée donne le 1 sans calcul, non ?

J'ai pas bien compris "quoi" devrait être égal à 1.
De toute façon, ce que tu dit, ça me semble être la même chose que ce que je dit (à moins que tu ait vu une astuce pour le 1). La seule différence, c'est que je détaille un peu plus le "pourquoi" les sont équiprobables (et pourquoi leur somme fait 1, c'est à dire pourquoi on se fout comme de l'an 40 des cas d'égalité)

[GaBuZoMeu]

le 1, je veux dire la question 1).
Ce qu'il me semble dire de plus que toi, (au moins, le dire explicitement), c'est la bijection entre l'ensemble des valeurs pour la suite et l'ensemble des permutations de
Ce qu'on dit tous les deux, c'est l'équiprobabilité des événements .
Grâce à ma remarque sur la bijection, on en déduit l'équiprobabilité des valeurs possibles de et de là l'indépendance des variables . Non ?

[Ben314]

Concernant l'équiprobabilité des différents ordre possibles, je suis on ne peut plus d'accord (concernant non seulement la véracité mais aussi concernant fait qu'on peut éventuellement dire que "c'est clair" sans trop rentrer dans les détails).
Concernant le fait que ça implique l'indépendance des , là par contre ça ne me semble "pas super clair", (mais c'est éventuellement la vieillerie et/ou le gâtisme). Si on prend , le fait que signifie que (avec tes notations), mais par contre, le fait que ne se traduit pas simplement en terme de fonction vu que ça signifie que est le b-ième élément dans la suite ordonnée mais ça me semble pas clair (sans aucun calcul) de savoir où il est dans la suite ordonnée .

Edit : en fait, si, c'est assez clair. Si on se donne une disposition donnée de alors pour obtenir une dispo. quelconque de , il suffit d’intercaler l'un après l'autre les éléments et l'indépendance des différentes permutation dit qu'a chaque ajout il y a équiprobabilité des différents emplacement où on peut intercaler l'élément . En particulier, il y a équiprobabilité lorsque l'on ajoute le dernier ce qui montre que la proba que est toujours la même (égale à ) et ne dépend pas de la disposition de départ de donc ne dépend pas de la valeur de .

[GaBuZoMeu]

Je suis content que tu aies fini par voir ce que je voulais dire avec ma bijection et l'équiprobabilité des valeurs de la suite . Donc, on est bien d'accord, aucun calcul pour la question 1).

[pringuez]

Merci à tous les deux.

Pour le point 2, c'est bon, j'ai bien saisi le truc et j'ai réussi à écrire proprement l'enchaînement des différents arguments.

En revanche, pour le point 1, je ne vois toujours pas comment m'en sortir...
Je n'ai pas compris le dernier post de Ben314 et je ne vois pas non plus comment calculer ...

[GaBuZoMeu]

As-tu compris les points suivants :
1°) À chaque permutation de correspond un événement et sur un tel événement la valeur de la suite est fixée.
2°) Étant donné une des valeurs possibles de la suite , on peut reconstruire l'ordre dans lequel sont les variables , c.-à-d. qu'on peut reconstituer la permutation .
3°) Les événements sont équiprobables.
4°) Les valeurs possibles de la suite sont donc équiprobables.
5°) De là suit le fait que les sont indépendantes.

PS. La suite prend ses valeurs dans . Par exemple la valeur (1,1,3,2,3,5) donne la permutation (3,6,1,5,4,2). Étape par étape :
(1) donne (1)
(1,1) donne (1,2)
(1,1,3) donne (3,1,2)
(1,1,3,2) donne (3,1,4,2)
(1,1,3,2,3) donne ((3,1,5,4,2)

PPS. Tu peux voir le paragraphe "Loi uniforme sur un produit cartésien" dans la page wikpedia sur l'indépendance.

PPPS. @Ben314 :

Si on prend , le fait que signifie que (avec tes notations),

Non, ce n'est pas ça comme tu peux le voir sur l'exemple en PS.

[pringuez]

As-tu compris les points suivants :
1°) À chaque permutation de correspond un événement et sur un tel événement la valeur de la suite est fixée.
2°) Étant donné une des valeurs possibles de la suite , on peut reconstruire l'ordre dans lequel sont les variables , c.-à-d. qu'on peut reconstituer la permutation .
3°) Les événements sont équiprobables.
4°) Les valeurs possibles de la suite sont donc équiprobables.
5°) De là suit le fait que les sont indépendantes.

PS. La suite prend ses valeurs dans . Par exemple la valeur (1,1,3,2,3,5) donne la permutation (3,6,1,5,4,2). Étape par étape :
(1) donne (1)
(1,1) donne (1,2)
(1,1,3) donne (3,1,2)
(1,1,3,2) donne (3,1,4,2)
(1,1,3,2,3) donne ((3,1,5,4,2)

PPS. Tu peux voir le paragraphe "Loi uniforme sur un produit cartésien" dans la page wikpedia sur l'indépendance.

PPPS. @Ben314 :

Si on prend , le fait que signifie que (avec tes notations),

Non, ce n'est pas ça comme tu peux le voir sur l'exemple en PS.

Ok, je crois que c'est bon maintenant.
Merci beaucoup !

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.

[tournesol]

Quel bel exercice et merci pour ta solution élégante .

[GaBuZoMeu]

Je viens de voir que cet exercice, et la bijection que j'ai proposée, est en fait un grand classique : voir la page code de Lehmer de wikipedia.

[tournesol]

Merci pour l'info .
On est habitué à diverses démo pour le cardinal de Sn:
intuitive
il y a n façons de choisir l'image de 1 , puis n-1 pour choisir l'image de 2 , etc
rigoureuse mais par récurrence en composant avec une transposition .
Mais avec le code de Lehmer on construit rigoureusement à partir des décalages induits par la méthode intuitive une bijection de Sn dans un ensemble de cardinal n!