Résolution équation

[ayle]

Bonjour j'ai un exercice de maths et je bloque à une question j'ai essayé de résoudre mais je n'arrive Pas à tomber sur un polynôme

L'équation est sh(x) /x=(n+1)/n et la question est
Montrer que pour tout n appartient à N.etoile l'équation admet deux solutions dont une strictement positive

merci d'avance

[mathelot]

bonjour,
étudie les variations de sur

i) la fonction est elle paire, impaire ou rien du tout ?

ii) que se passe-t-il pour x=0 ?

iii) une fois le tableau de variations dressé , applique le TVI (théorème des valeurs intermédiaires

remarque (n+1)/n = 1+1/n
la quantité 1+1/n est bornée par quelles valeurs ?

[ayle]

Oui ça c'était les questions d'avant et j'ai trouvé qu'elle était pair, proongeable en une fonction continue sur R et strictement croissante sur R mais je vois pas le rapport avec cette question

[tournesol]

Paire et strictement croissante ? est-ce possible ?

[ayle]

Non jme suis trompé elle est pair décroissante sur R- et croissante sur R+

[ayle]

Non ok j'ai compris pour cette question faut faire un TVI

[ayle]

Par contre après il faut montrer que la. Suite xn est décroissante en prenant xn la solution positive de l'équation et il est marqué qu'il faut raisonner par l'absurde je galère ici

[mathelot]

en démonstration directe:

Pour tout entier n strictement positif,





d'où



la fonction étant strictement croissante sur


Cette démo directe se convertit facilement en "raisonnement par l'absurde"

[ayle]

OK ça marche j'avais fait un truc similaire mais après faut montrer qu'elle converge mais faut partir de ce résultat ducoup ?

[mathelot]

oui.
Quelle propriété la suite ) possède-t-elle en plus d'être strictement décroissante ?

[ayle]

Elle est minoré je pense mais il faut le prouver

[mathelot]

pas la peine, (x_n) est à termes positifs, elle est minorée par ... ?

[ayle]

Par 0 parce qu'elle est définit comme étant solution positive c'est ça non

[mathelot]

oui, c'est cela

[mathelot]

on fait tendre n vers l'infini.


f est une bijection croissante de [0;+oo[ sur [1;+oo[ , continue.
elle admet une bijection réciproque g.



que vaut g(1) ?

[ayle]

Il faudrait pas calculer sa bijection réciproque

[mathelot]

on n'a pas de formule close pour exprimer g(y).
par contre comme f(0)=1 , que vaut g(1) ?

[ayle]

0 ducoup

[mathelot]

voili-voilou , on a donc déterminé la limite de la suite