Anneau

[cedric125]

Bonsoir besoin d'aide sur cet exercice
Sur R² on definit la loi * par
(
1)montrer que (R²,+,×) est un anneau commutatif noté A
b)chercher les diviseurs de 0 de A
2)On considère l'application f défini de R[x] vers A par:
a)montrer que f est un homomorphisme d'anneau
b)f est-il surjectif?puis déterminer kerf

[GaBuZoMeu]

Bel exercice. La première chose à faire quand on demande de l'aide, c'est d'expliquer ce qu'on a déjà fait, et de préciser les points sur lesquels on bloque.
Déjà, je remarque que tu as mal transcrit l'énoncé (peut-être une marque d'incompréhension) : on ne te demande pas de vérifier que (R²,+,x) est un anneau, mais que (R²,+,*) est un anneau.
Si on ne précise pas qui est +, c'est que c'est l'addition habituelle des vecteurs de R². Tu sais déjà que (R²,+) est un groupe additif (j'espère). Il te reste donc à revoir dans ton cours la définition d'anneau commutatif et à vérifier les propriétés de cette définition.

[cedric125]

Bonsoir

Déjà, je remarque que tu as mal transcrit l'énoncé (peut-être une marque d'incompréhension) : on ne te demande pas de vérifier que (R²,+,x) est un anneau, mais que (R²,+,*) est un anneau.

oui c'est bien (R²,+,*)

Si on ne précise pas qui est +, c'est que c'est l'addition habituelle des vecteurs de R². Tu sais déjà que (R²,+) est un groupe additif (j'espère). .

c'est justement la loi + mon problème
est ce que ça donne ?

[GaBuZoMeu]

What else ?

[cedric125]

donc la loi + est interne
(0,0) est l'élement neutre de +
tout élément admet comme opposé

donc la loi + est associative
=(y_1;y_2)+[(x_1;x_2)
donc la loi + est commutatif
alors (R²,+) est un groupe commutatif

donc la loi * est interne

donc la loi * est associative

et

Donc la loi * est distributive à gauche et à droite par rapport à +

je n'arrive pas à trouver un élément neutre à la loi * pour conclure

[GaBuZoMeu]

Je ne pense pas qu'il est attendu de redémontrer que R² avec l'addition standard est un groupe. Après tout, tu es censé savoir que c'est un espace vectoriel ..
Pour l'élément neutre de *, il n'est pas très difficile de trouver un couple tel que pour tout :
et .
Si ?

[cedric125]

ok le couple (1,0) est l’élément neutre

[cedric125]

Bonjour
c'est quoi un diviseur de 0?

[GaBuZoMeu]

Un élément d'un anneau commutatif est appelé diviseur de 0 quand il existe un élément de tel que .
J'ai du mal à croire qu'on te donne un exercice avec dans l'énoncé une notion qui n'est pas définie dans le cours.

[cedric125]

malheureusement si
mon prof est le genre de prof qui nous donne juste les bases et nous renvoie sur internet. Par exemple ils nous a jamais dit qu'un groupe abelien est un groupe commutatif.
quand vous dites ab=0 ici c'est a*b ?

[GaBuZoMeu]

Je donnais la définition générale pour un anneau commutatif où la multiplication est notée par la juxtaposition, comme cela se fait habituellement.
Ici, ça vaut pour .

[tournesol]

Astuce pour trouver le neutre :
Calculer l'image du neutre multiplicatif de K[X] qui est 1 par le dit homomorphisme f .
Tu trouves (1, 0) car P' est le polynôme nul .