Cardinal d'ensemble et demonstration
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yoshiop
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par yoshiop » 16 Jan 2020, 00:21
bonjour
je bloque sur une démonstration à faire :
a) soient E et F deux ensembles finis et
b) soient E X F finis et
c) l'ensemble f(E,F) est finis
(f^card(E))
il faut démontrer a) b) c) par récurrence et je ne vois pas du tout comment commencer vus que c'est des ensembles ..;
pouvez vous m'aider svp
merci
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infernaleur
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par infernaleur » 16 Jan 2020, 00:30
Salut,
tu peux procéder par récurrence sur n=card(E).
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tournesol
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par tournesol » 16 Jan 2020, 10:58
La rédaction me parait difficile .
Pour le 1 je propose ceci:
soit n le cardinal de E
je note A(n) le cardinal de EUF , et B(n) l'entier card(E)+card(F)-card(E inter F)
tu dois vérifier que A(0)=B(0)
supposons A(n)=B(n)
Si on adjoint à E un élement supplémentaire x , alors :
A(n) augmente d'une unité .
si x appartient à (E inter F) , B(n) augmente de 1+1-1=1
donc A(n+1)=B(n+1)
si x n'appartient pas à (E inter F) , ...
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tournesol
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par tournesol » 16 Jan 2020, 11:06
notons que sans recurrence , 1 est facile :
card(EUF)=card(E\F)+card(E inter F)+card(F\E)=(card(E\F)+card(E inter F))+(card(F\E)+ card(E inter F))-card(E inter F)=card(E)+card(F)-card(E inter F)
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tournesol
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par tournesol » 16 Jan 2020, 12:23
je réfute ma rédaction par récurrence.
En effet l'hypothèse de récurrence est absente .
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tournesol
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par tournesol » 16 Jan 2020, 13:11
je ne traiterai pas cet exo car les solutions sont dépendantes des définitions des cardinaux données en cours .
Au secours les autres !
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infernaleur
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par infernaleur » 17 Jan 2020, 00:11
1)on montre que
pour E et F disjoint et on en déduit la cas général avec ce qu'a dit tournesol .
Soit F un ensemble finis et on pose card(F)=p
On pose n=card(E)
Initialisation: pour n=0 c'est évident
Hérédité: on suppose que
pour tout ensemble A avec
et
.
Montrons que
Comme
on a une bijection
En posant
, la restriction de f à
donne une bijection
.
Comme
par hypothèse de récurrence on a
.
On a donc une bijection
.
Comme E et F sont disjoints, on a forcément
donc
Donc en posant
on obtient une bijection
D’où
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