TS spé math exercices pour reprendre avant la rentrée

[gabii]

Alors voilà mon prof particulier m'a donné deux exercices pour découvrir un peu Bézout, cependant je bloque sur cette partie si vous pourriez me donner un chemin s'il vous plaît, voilà les deux petites questions :
1) Si x et y deux entiers naturels non nuls premier entre eux alors 2x+y et 5x+2y premiers aussi entre eux.
2)soient a et b deux entiers naturels non nuls t.q a²-2b²=1
- Démontrer que si (a;b) est un couple vérifiant a²-2b²=1 alors le couple (A;B) vérifie A²-2B²=1 avec A=3a+4b et B=2a+3b
- En déduire un couple (a;b) d'entiers supérieurs à 100 solution de a²-2b²=1.
Vous seriez d'une grande aide vu qu'il ne m'a toujours pas répondu pour m'aider car il est en vacances, merci d'avance.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Pour le (1) suppose que 2x + y et 5x + 2y ne sont pas premiers entre eux ;
donc il existe un nombre premier d tel que : 2x + y = dX et 5x + 2y = dY .
Je pense que cela te conduira à une contradiction avec ce que tu as supposé au début .

[gabii]

Merci, cependant pour le (1) je pensais les prendre indépendamment l'un de l'autre et non pas ensembles, puisque justement avec delta U et I ( mon X et Y) il y a contradiction

[mathelot]

bonjour,
une variante

Les diviseurs communs à m et n sont des diviseurs commun à x et y.
Or x et y sont premiers entre eux, idem pour m et n

[aymanemaysae]

Pour la première question du (2) , il suffit de calculer : A² - 2B² .
A² - 2B² = (3a + 4b)² - 2(2a + 3b)² = ............ .

Pour la deuxième question , on a une solution triviale de l'équation diophantienne : (3 ; 2)
car on a : 3² - 2 * 2² = 9 - 2 * 4 = 9 - 8 = 1 : il suffit donc d'exploiter la première question du (2) .

[gabii]

Merci beaucoup a vous tous, je vais voir et essayer de refaire entièrement !