Matrice

[GaBuZoMeu]

Ça ne sert pas à grand chose de développer , dans le but de trouver . Il vaut mieux s'intéresser à une autre combinaison linéaire de et .

[Samba]

OK Samba. Et que se passe-t-il pour ?

Rapidement

Par récurrence,

[Samba]

Dois je pas savoir pour quelle valeur valeur de n m’arrêter dans mon développement du binôme ?

Dès qu'il y a le produit BC dans un terme du binôme, le terme est nul.
Que reste il du développement du binôme après la simplification BC=0 ?

0 ?

[mathelot]

Dois je pas savoir pour quelle valeur valeur de n m’arrêter dans mon développement du binôme ?

Dès qu'il y a le produit BC dans un terme du binôme, le terme est nul.
Que reste il du développement du binôme après la simplification BC=0 ?

0 ?

il reste les termes de bord:


Comme dit GBZM , il suffit d'écrire A comme combinaison linéaire de B et C puis élever à la puissance n

[Samba]

Dès qu'il y a le produit BC dans un terme du binôme, le terme est nul.
Que reste il du développement du binôme après la simplification BC=0 ?

0 ?

il reste les termes de bord:


Comme dit GBZM , il suffit d'écrire A comme combinaison linéaire de B et C puis élever à la puissance n

Je peux voir ton développement.
, non ?

[Samba]

Tu as raison sur le développement.
Mais d'où vous voyez que je peux avoir en faisant le ?

[mathelot]

Tu as raison sur le développement.
Mais d'où vous voyez que je peux avoir en faisant le ?

On va plutôt écrire A comme combinaison linéaire de B et C, puis calculer

[Samba]

Tu as raison sur le développement.
Mais d'où vous voyez que je peux avoir en faisant le ?

Le produit BC=0.

[mathelot]

je voulais calculer en utilisant le développement du binôme. Mais comme on a calculé
, je laisse tomber cette idée.

[mathelot]

OK Samba. Et que se passe-t-il pour ?

Rapidement

Par récurrence,

initialisation


hérédité
suppososns (1)
alors en multipliant par C l'égalité (1)

d'où
raisonnement par récurrence:
d'où pour tout entier

[Samba]

Tu as raison sur le développement.
Mais d'où vous voyez que je peux avoir en faisant le ?

On va plutôt écrire A comme combinaison linéaire de B et C, puis calculer

Combinaison linéaire ? J'ai pas vu ça en cours de même que le binôme de Newton appliqué aux matrices mais je peux rien négliger dans mes révisions puisque c'est dans ma fiche de TD matrices. L'enseignement est hyper difficile dans mon pays.

Merci et au plaisir. Peut-être que j'aurais un autre exercice à vous soumettre très vite.

[mathelot]

Je termine si tu t'en vas:

D'après la définition de B et C , il vient



B et C commutent,i.e, BC=CB
on peut donc utiliser le binôme de Newton avec BC=0:

d'où

[Carpate]

Pourquoi s'embêter à calculer et à montrer que alors qu'en développant , sachant que pour tout p > 1, , on va droit au but ?

[GaBuZoMeu]

Bof, est-ce vraiment plus rapide que ?

[mathelot]

au début, je pensais développer pour calculer et , mais je n'avais pas la démonstration, la voici:

B et C commutent (BC=CB)




donc
(1)
En multipliant (1) par B


En multipliant (1) par C



ce qui ne nécessite aucun calcul de coordonnées

[Samba]

Messieurs, la discussion est intéressante.
Passons à un autre exercice.
On considère les matrices: et

1. Calculer et en déduire que est inversible.
2. On pose
a. Vérifier que les matrices A et J commutent
b. Exprimer en fonction de
c. En déduire que
3. En déduire que la matrice est inversible (on exprimera en fonction de et )


1.
Donc est inversible.
2.
a.
et commutent.
b.





Comment

[Carpate]

2-b : On trouve par calcul direct que D est constituée de 4 lignes de 1
Donc D^2 est constituée de 4 lignes de 4 soit D^2= 4D
Ca serait mieux en LaTeX mais je suis sur portable

[GaBuZoMeu]

Petit retour sur l'exercice du fil : d'où sortent les et ? Ce sont les projecteurs spectraux de la matrice diagonalisable ; le projecteur spectral associé à la valeur propre est le projecteur sur le sous-espace propre associé à la valeur propre , parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres. Dans l'exercice (resp. ) est le projecteur spectral associé à la valeur propre (resp. ).

De manière générale, soit une matrice diagonalisable, ses valeurs propres et les projecteurs spectraux associés. Alors on a

et

Il est donc très utile de connaître les projecteurs spectraux. Ceux-ci se calculent facilement si on a un polynôme annulateur explicitement scindé à racines simples pour . Expliquons ce calcul sur un exemple.
Supposons que annule . On calcule la décomposition en éléments simples



et les projecteurs spectraux sont



Dans le cadre de l'exercice, avec annulé par , on a



d'où et .

[Samba]

a. Calculer , en déduire que est inversible et calculer .
b. On pose où et sont des réels. Calculer en fonction de et .
c. En déduire que si (a,b)≠(0,0) alors est inversible et calculer
d. Application: calculer l'inverse de la matrice
A=1+√2 1 -1 -3
1 1+√2 1 -2
0 -1 √2 1
1 1 0 -2+√2
(Impossible de l'écrire en latex.)

a.
Donc


b.




La suite ?

[GaBuZoMeu]

Tu n'as pas calculé comme combinaison linéaire de et .