Nombre complexe - un exercice

[miss93]

Bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire,pourrez-vous m'aider svp?voilà l'énoncé:

théta est un réel distinct de [smb]pi[/smb] modulo 2[smb]pi[/smb] et:

t=[exp(i*[smb]theta[/smb]/2)-exp(-i*[smb]theta[/smb]/2)] /[exp(i*[smb]theta[/smb]/2) + exp(-i*[smb]theta[/smb]/2 )]

1°) Calculer (2t)/(1+t²) , (1-t²)/(1+t²) et (2t)/(1-t²) en fonction des lignes trigonométriques de [smb]theta[/smb].

2°) Prouvez que :

sin[smb]theta[/smb] = [2tan([smb]theta[/smb]/2)]/[1+tan²([smb]theta[/smb]/2)]

cos[smb]theta[/smb]=[1-tan²([smb]theta[/smb]/2)]/ [1+tan²([smb]theta[/smb]/2)]

tan[smb]theta[/smb]= [2tan([smb]theta[/smb]/2)]/ 1-tan²([smb]theta[/smb]/2)]



Pour la 1ere question j'ai trouvé ces résultats suivant:
(2t)/(1+t²)=[2tan([smb]theta[/smb]/2)]/ [1+(tan[smb]theta[/smb]/2)²}

(1-t²)/(1+t²)=[1-tan²[smb]theta[/smb]/2]/ [1+tan²[smb]theta[/smb]/2]

(2t)/(1-t²)=[2tan([smb]theta[/smb]/2)]/ [1-(tan²[smb]theta[/smb]/2)]

Je n'arrive pas à prouver.

[Elsa_toup]

Bonjour,

Je ne sais pas ce que sont les lignes trigonométriques, mais je trouve = i*tan()

[miss93]

ah bon,comment t'as fait pour trouver ça!!!

[Elsa_toup]

Alors je suis partie (je sens que je vais me rendre compte au fur et à mesure que je me suis trompée, mais tant pis... :marteau: ):

Je note X = .

2t =

Et 1+t² = 1 + = = = 2*

Donc = (les 2 s'annulent qinsi que le dénominateur de 2t) .

Le numérateur est une identité remarquable: (a+b)(a-b) = a²-b², donc:
=

Or , donc:
=

Ensuite, tu développes en cos + i sin , et tu retrouves mon résultat.

[miss93]

ah daccord moi j'ai remplacé t par la formule donné dans l'énoncé :ptdr: jme suis plus embrouillée que jamais là O_o'

[Elsa_toup]

Je comprends pas bien où était ton erreur, mais tant mieux si c'est plus clair maintenant ...

[miss93]

Mais est ce que tu peux m'aider pour la 2eme question?

[Elsa_toup]

1+tan² = 1+ = = .

Donc = * = .

Or sin(a/2) = sin (a-a/2) = sin(a)*cos(-a/2) + sin(a/2)*cos(a).

Je te laisse poursuivre avec la formule pour cos(a/2), et de même pour la suite....

[miss93]

oulala pourquoi a???

[Elsa_toup]

Non, non, j'ai écrit a par flemme. C'est un theta à chaque fois.

[miss93]

lol ah daccord merci beaucoup