Rectangle d'or et origami

[fdesar]

Bonjour,

Je ne suis plus lycéen depuis bien longtemps mais je fais de l'origami depuis un
certain temps et je me pose la question suivante : je sais parfaitement et très
simplement construire un rectangle d'or en origami, mais je réalise cette construction
de manière purement empirique, instinctivement : j'ai une très vague idée
de la raison pour lequel le résultat est juste et cherche juste à comprendre la démonstration
géométrique formelle de cette construction réalisée à partir d'un carré.

Voici donc la construction :

Soit, dans le plan euclidien, un carré ;
Soit un point sur le segment tel que ;
Soit un point sur le segment tel que

Et donc la question :

Démonter que

(Je l'ai illustré mais n'arrive pas à joindre le fichier ).

Merci d'avance pour vos réponses,

F.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Je ne voulais pas poster ma réponse qui n'aboutit pas au résultat escompté , mais maintenant je la poste pour voir si vraiment elle déraille quelque part .

ABCD est un carré de côté : a .

Soit u l'angle BKC , donc : tan(BKC) = 2 ; donc : u = atan(2) .

Je travaillerai dans le repère orthonormé (C ; - CD ; - CB) .

(CL) est la bissectrice interne de l'angle KCD = u ; donc l'angle LCD = u/2 .

L'équation réduite de la droite (CL) est : y = tan(u/2) x avec tan(u/2) > 0

et l'équation de la droite (BD) est : y = - x - a .

Le point L(xL ; yL) est l'intersection des droites (CL) et (BD) , donc on a : - xL - a = tan(u/2) xL ;

donc : xL = - a/(1 + tan(u/2)) et yL = - a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)) .

On a : LD² = (- a + a/(1 + tan(u/2))² + (a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)))²

= (a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)))² + (a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)))²

= 2 (a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)))² ;

donc LD = 2^(0,5) * a * tan(u/2)/(1 + tan(u/2)) ;

donc : LD/CD = LD/a = 2^(0,5) tan(u/2)/(1 + tan(u/2)) .


On a : 2 = tan(u) = tan(2 * u/2) = 2 tan(u/2)/(1 - tan²(u/2)) ;

donc : 1 = tan(u/2)/(1 - tan²(u/2)) ;

donc : 1 - tan²(u/2) = tan(u/2) ;

donc : tan²(u/2) + tan(u/2) - 1 = 0 ;

donc : tan(u/2) est égal à (- 1 + 5^(0,5))/2 ou (- 1 - 5^(0,5))/2 < 0 ;

donc : LD/CD = 4 * 2^(0,5) /(5^(0,5) + 1)² .

[lyceen95]

Tu parles du carré ABCD ... mais avec les notations classique, on va dire le carré ABDC (les 4 sommets dans l'ordre).
K est le milieu de AB. Notons également M le milieu de CD, puisqu'on aura besoin du triangle CMK:
Dans ce triangle, l'angle MCK vérifie :
On trace la bissectrice de l'angle KCD, elle coupe le segment BD en L.

Soit a l'angle DCL (qui est donc égal à l'angle LCK). Et soit x la longueur DL, et y la longueur CL.
On sait que
Ici :



Et par ailleurs (Pythagore) :



Et ça nous conduit bien au résultat proposé :

[Black Jack]

Salut

Par une toute autre méthode, je trouve : CD/LD = 1,85122958682...

Ce qui donne LD/CD = 0,540181513475...
qui correspond au LD/CD = 4 * 2^(0,5) /(5^(0,5) + 1)² de aymanemaysae

Comme 1,85122958682.. est différent de (1+V5)/2 ... l'affirmation de fdesar est erronée.

Ceci évidemment avec les notations habituelles d'un carré ABCD, soit A, B, C, et D les sommets rencontrés dans l'ordre en tournant toujours dans le même sens autour du carré.

Si le carré ne respecte les notations habituelles, alors c'est un autre problème.

[Carpate]

@Black Jack
Bonjour,
Je ne vois pas bien comment justifier sin a = x/y et cos a = 1/y ?

[fdesar]

Merci à Lycéen95 qui a su détecter et corriger mon énoncé et en plus me fournir la démonstration.

L’erreur d’énoncé était « Soit un carré A, B, D, C » et non « A, B, C, D ».

Désolé, je suis partie d’une construction que j’avais dessinée comme ça et que je voulais joindre à la question mais le forum a refusé de prendre en compte le fichier joint...

Encore merci !

[GaBuZoMeu]

Un petit dessin, ça manque.

À gauche, avec la notation habituelle pour un carré : ça foire.
À droite, ce qui est sans doute ce que F. avait en tête : ça marche.



Pourquoi ça marche ? En prenant un carré de côté 1, , par propriété de la bissectrice et comme , on a bien .

[lyceen95]

Dans le message initial, fdesar disait : Soit L sur le segment BD
... il ne disait pas : Soit L sur la diagonale BD

Partant de là, ça me paraissait à peu près certain que les 4 sommets étaient dans l'ordre ABDC, et pas ABCD : le 'non-mathématicien' va savoir utiliser le bon mot 'diagonale', alors qu'il ne va pas savoir appliquer la bonne convention ABDC vs ABCD.

[Black Jack]

Salut,

Je ne vois pas pourquoi la diagonale [BD] ne pourrait pas être considérée comme un segment ... mais le principal est que fdesar a eu la solution à son problème.