Dérivées

[123soleil]

Bonjour à tous, j'ai un problème de maths à résoudre et je vous avoue que je bloque un peu.
Sujet : L'écran d'un smartphone a une surface de 45cm². A gauche et à droit de l'écran, le bord du téléphone mesure 0.5 cm. En haut et en bas, le bord du téléphone mesure 1.5 cm. On note x la largeur de l'écran et y la longueur de l'écran. On souhaite que ce téléphone ait une surface totale ( écran+bords ) minimale.

1) Exprimer y en fonction de x
J'avais mis 45/x
2) Justifier que x est strictement positif = c'est une longueur
3) Justifier que la surface totale est égale à : S(x) = 3x + 45/x + 48
Le 3x= 1,5cm x 2, 45/x= longueur ? et 48= 45+3
4)Quelles doivent etre alors les dimensions de l'écran pour avoir une surface totale minimale
Là j'ai dérivé la fonction et j'ai trouvé 3 - 45/x²
C'est la que je bloque vraiment car je sais qu'il faut faire un tableau de signe de f'(x) et ensuite on déduit les variations de f(x) par rapport au signe et avec ça on peut calculer le minimum.
Mon problème est que je ne trouve pas la valeur de a pour calculer le delta, j'en suis là : a= ? , b=0 et c= 3
Je pense que a= -45 mais je ne suis pas sure et donc je bloque.
J'espère que quelqu'un pourra me venir en aide ! : )

[titine]

Tu veux étudier le signe de 3 - 45/x² c'est à dire (3x² - 45)/x²
Ok ?
Le dénominateur (x²) est positif car c'est un carré.
Signe de 3x² - 45 : avec delta si tu veux (a=3 , b=0 et c=-45)
mais ça serait plus simple de factoriser avec a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc 3x² - 45 = 3(x² - 15) = 3(x+rac(15))(x-rac(15))
Ok ?
Donc 3x² - 45 s'annule en -rac(15) et rac(15) et il est positif à l'extérieur de ces 2 nombres et négatif entre.
Compris ?

[123soleil]

Je ne comprends comment vous arrivez au racines ?

[123soleil]

Tu veux étudier le signe de 3 - 45/x² c'est à dire (3x² - 45)/x²
Ok ?
Le dénominateur (x²) est positif car c'est un carré.
Signe de 3x² - 45 : avec delta si tu veux (a=3 , b=0 et c=-45)
mais ça serait plus simple de factoriser avec a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc 3x² - 45 = 3(x² - 15) = 3(x+rac(15))(x-rac(15))
Ok ?
Donc 3x² - 45 s'annule en -rac(15) et rac(15) et il est positif à l'extérieur de ces 2 nombres et négatif entre.
Compris ?

D'accord ça j'ai compris, donc pour trouver les dimensions je dois me servir de racine de 15 ? ( en faisant le tableau j'ai trouver que c'était la valeur de x du minimum )

[annick]

Bonjour,

tu utilises a²-b²=(a+b)(a-b)

Soit ici :

x²-15 avec a²=x² et b²=15 donc b=V15

Ensuite, dans ton tableau il faudra barrer toute la partie où x<0 car une longueur ne peut être négative.

[titine]

Tu veux étudier le signe de 3 - 45/x² c'est à dire (3x² - 45)/x²
Ok ?
Le dénominateur (x²) est positif car c'est un carré.
Signe de 3x² - 45 : avec delta si tu veux (a=3 , b=0 et c=-45)
mais ça serait plus simple de factoriser avec a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc 3x² - 45 = 3(x² - 15) = 3(x+rac(15))(x-rac(15))
Ok ?
Donc 3x² - 45 s'annule en -rac(15) et rac(15) et il est positif à l'extérieur de ces 2 nombres et négatif entre.
Compris ?

D'accord ça j'ai compris, donc pour trouver les dimensions je dois me servir de racine de 15 ? ( en faisant le tableau j'ai trouver que c'était la valeur de x du minimum )

Bin oui.
La surface du téléphone sera minimale si la largeur de son écran mesure rac(15) cm (soit environ 3,9 cm ) La longueur de son écran sera alors 45/rac(15) cm (soit environ 11,6 cm)

[123soleil]

Tu veux étudier le signe de 3 - 45/x² c'est à dire (3x² - 45)/x²
Ok ?
Le dénominateur (x²) est positif car c'est un carré.
Signe de 3x² - 45 : avec delta si tu veux (a=3 , b=0 et c=-45)
mais ça serait plus simple de factoriser avec a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc 3x² - 45 = 3(x² - 15) = 3(x+rac(15))(x-rac(15))
Ok ?
Donc 3x² - 45 s'annule en -rac(15) et rac(15) et il est positif à l'extérieur de ces 2 nombres et négatif entre.
Compris ?

D'accord ça j'ai compris, donc pour trouver les dimensions je dois me servir de racine de 15 ? ( en faisant le tableau j'ai trouver que c'était la valeur de x du minimum )

Bin oui.
La surface du téléphone sera minimale si la largeur de son écran mesure rac(15) cm (soit environ 3,9 cm ) La longueur de son écran sera alors 45/rac(15) cm (soit environ 11,6 cm)

Merci beaucoup sans vous je n'y serai jamais arrivée : )

[annick]

Juste pour préciser :

45/V15=(45V15)/(V15)²=45V15/15=3V15