Devoir maison: Suites/ Géométrie/ Limites de suite

[Formula2002]

Bonjour à tous et à toutes,

Voilà maintenant un petit moment que je réfléchis sur ce devoir maison ( ci-joint).
En ce qui concerne la question 1, celle-ci ne m'a pas posé de problème. Cependant, je bloque sur la question 2. En effet, j'ai compris le principe et je sais qu'il faut utiliser la formule du périmètre d'un cercle que l'on divise par 4 comme ce sont des quarts de cercle et par 2 car la taille d'un nouveau carré est à chaque fois divisée par 2. Cependant, je ne sais pas comment l'exprimer sur ma copie, en sachant que ceci doit sûrement être sous forme de suite/ somme des termes, en raison des questions suivantes. Pour la question 3, je ne sais pas comment procéder.. je pensais faire la limite mais dans ce cas, je ne sais pas la méthode à adopter.

Je vous remercie par avance pour votre précieuse aide.

Cordialement, Formula

[Noemi]

Bonjour Formula2002,

Pour le premier arc de cercle, sa mesure est 2piR/4, soit piR/2
pour le deuxième arc de cercle, le rayon R' = R/2 donc piR'/2 devient piR/4
et ainsi de suite

[Formula2002]

J'ai compris ceci mais je ne sais pas comment l'exprimer "comme une suite"

[GaBuZoMeu]

À chaque étape le rayon est divisé par 2 et donc la longueur du quart de cercle est aussi divisée par 2.
Faire la somme des termes d'une suite dont chaque terme est la moitié du précédent (le précédent multiplié par 1/2), ça ne te dit rien ?

[aymanemaysae]

Bonjour ;


L'étape consistait à tracer le carré et le quart de cercle avec .
La longueur du quart du cercle est .

L'étape consistera à tracer le carré et le quart de cercle .
La longueur du quart du cercle est .

L'étape consistera à tracer le carré et le quart de cercle .
La longueur du quart du cercle est .

L'étape consistera à tracer le carré et le quart de cercle .
La longueur du quart du cercle est .

Tu peux conjecturer que l'étape avec consistera à tracer le carré et le quart
de cercle .
La longueur du quart du cercle est .

Tu peux continuer maintenant .

[Formula2002]

"La longueur du quart du cercle est ."

Merci beaucoup pour votre réponse!
Cependant, celle-ci est-elle destinée à la question 2 ou à la question 3?
Ne faut-il pas donner une valeur exacte pour la question 2?

Merci d'avance pour réponse!

[Formula2002]

Ou dois-je pour la question 2 additionner chacune de ces étapes pour obtenir la valeur exacte?
Votre conjecture correspondrait alors à la question 3?

[aymanemaysae]

Bonsoir ;


A l'étape la longueur de la spirale est la somme des quatre longueurs des quatre quarts de cercle dessinés : .

Pour la suite , tu peux simplifier la conjecture et dire qu'à l'étape avec , le quart de cercle dessiné est le quart de cercle de longueur , donc : tu peux simplifier cette expression en exploitant un indice déjà donné .

Cette conjecture peut-être démontrée grâce à l'indice sus mentionné .

[Formula2002]

"Pour la suite , tu peux simplifier la conjecture et dire qu'à l'étape avec , le quart de cercle dessiné est le quart de cercle de longueur , donc : tu peux simplifier cette expression en exploitant un indice déjà donné ."


Afin d'exprimer plus simplement Ln, on peut se dire que c'est une somme de termes. Et ici, : est une suite géométrique donc on utilise la formule pour exprimer la somme de termes consécutifs.

Uo * (1-q^n+1)/(1- q) avec Uo = 1/2

On obtiendrait alors : 1/2 * (1 - (Pi*R)^n+1)/ 1 _ Pi*R ?

Serait-il possible de me dire si ma démarche est la bonne et surtout si elle est juste?
Merci d'avance!

[aymanemaysae]

Bonsoir ;


La formule à utiliser est bien celle que tu as donnée , mais il faut remarquer que est le produit de par la somme des premiers termes de la suite géométrique de raison et de premier terme .

Tu auras donc : , et en remarquant que , alors tu auras : .

Ceci n'est qu'une conjecture qu'il te reste à démontrer : il faut tout d'abord montrer que les longueurs des quarts de cercle dessinés sont les termes d'une suite géométrique et conclure.

[Formula2002]

Merci beaucoup aymanemaysae pour toute l'aide que vous m'avez apporté ces derniers jours!

Bonne soirée à vous!

[aymanemaysae]

De rien . Bon courage .