Classe de similitude

[ComeDuRondeau]

Salut,

Une matrice à coefficients complexe semblable à une matrice réelle a forcément sa trace et son déterminant réels. Est-ce que la réciproque est vraie pour les matrices 2x2 ?

Je n'arrive pas à le montrer ni à trouver de contre exemple. Avec Cayley-Hamilton on peut se ramener à une matrice diagonale avec et sur la diagonale mais je n'ai pas trop d'idée pour exhiber un contre-exemple ni pour répondre à la question.

Des idées ?

[GaBuZoMeu]

Avec la trace et le déterminant on connaît le polynôme caractéristique.
Je suppose que tu as traité le cas où celui-ci a des racines réelles, éventuellement une racine double.
Si le polynôme caractéristique est irréductible sur , il est égal au polynôme minimal et alors la matrice est semblable à la matrice compagnon du polynôme caractéristique.

[ComeDuRondeau]

Si le polynôme caractéristique est irréductible sur , il est égal au polynôme minimal et alors la matrice est semblable à la matrice compagnon du polynôme caractéristique.

Oh ! Je connaissais pas ça. Donc il suffit de traiter le cas (le seul cas où le polynôme minimal est différent du polynôme caractéristique) et ça c'est facile puisque la trace est réelle .

Merci bien et bon week-end.