Petit doute sur la continuité d'une fct de R²...

[benj3850]

Tout d'abord bonsoir à tous et toutes !
voila je dois étudier la continuité d'une fonction de R²->R
(x,y) -> { (1+x²y²)^(1/(xy²)) si xy !=0
{ exp(x) si xy=0

j'ai fait cet exercice donc je vais vous détaillé ce que j'ai fait mais je voudrais savoir ce que vous en pensez, si c'est juste quoi ! lol

j'ai dit que si xy !=0 alors il est clair que (1+x²y²)^(1/(xy²)) est continue.
ensuite, xy x=0 ou y=0, ce qui donne deux cas :
* (0,y0) avec y0 appartenant à R (1)
* et (x0,0) avec x0 appartenant à R (2)

ensuite j'ai dit qu'il fallait etudier la limite de (1+x²y²)^(1/(xy²)) pour ces 2 cas, c'est à dire quand (x,y) tend vers l'un ou l'autre :

(1+x²y²)^(1/(xy²)) = exp( 1/xy² * ln(1+xy²) )

pour (1) et (2) on a ln(1+xy²) equivalant à xy² donc :
lim( (1+x²y²)^(1/(xy²)) ) = 1 pour (1) c'est à dire lim( exp(x) ) quand x->0
et exp(x0) pour (2) avec x0 appartenant à R.
donc à partir de ça j'ai conclu que f était continue sur R.
voila, je sais pas si c'est bon, j'attend vos commentaires !

merki d'avance

[alben]

Bonsoir,

Es-tu sûr de ton énoncé car tel que tu l'as écrit ta fonction peutêtre ramenée à une seule variable : (x,y)->x²y²=u et f(u)=(1+u)^(1/u)
La seconde fonction a pour limite e lorsque u tend vers zéro.
Donc, pour prolonger ta fonction par contnuité, il faudrait que la valeur pour xy=0 soit exp(1) et non exp(x)

PS j'avais mal vu le x dans l'exposant n'est pas au carré

[alben]

Toi aussi tu t'est embrouillé :
correction en rouge
(1+x²y²)^(1/(xy²)) = exp( 1/xy² * ln(1+x²y²) )
pour (1) et (2) on a ln(1+x²y²) equivalant à x²y² donc :
lim( (1+x²y²)^(1/(xy²)) ) = exp(x) dans les deux cas

[benj3850]

ah oui c'est vrai j'ai oublié un carré ! lol
merci pour ta réponse, mis à part ce carré oublié, c'est bon alors