1ère Math: Équation trigonométrique dans un intervalle

[Sirek8383]

Bonjour, je suis un élève de 1er en spécialité math et, j’ai un exercice sur la résolution d’une équation dans l’intervalle [0;2pi[, avec pour équation:
Cos x+ sinx = -1. Mais voilà, le problème est que je n’arrive pas à résoudre l'équation car l’intervalle me perturbe.

Je pense qu’il faudrais que je remplace cos x et sin x par les valeurs qu’ils leurs correspondent pour x =0; pi/6; pi/4; pi/3; pi/2; pi et 2 pi m. Mais comme je me demande si j’écoute dois pas juste remplacer cos x et sin x avec x=0 et 2pi puisque ce sont les deux valeurs dans l’intervalles



Si quelqu’un peut prendre le temp de m’expliquer et de m´éclairer, je le remercie d’avance !

[Sirek8383]

Mais je me demande si je ne dois pas juste*

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Tout d'abord tu peux remarquer que : ;
et que : .

[GaBuZoMeu]

Tu sais qu'un angle est défini modulo : on peut ajouter ou retrancher un multiple de sans changer l'angle. C'est pour ça qu'on te demande de donner la réponse dans . Si était solution (je te préviens tout de suite, ça ne l'est pas), on n'a pas besoin en se limitant à de mentionner aussi .

Pour la résolution : on peut élever au carré , utiliser une identité trigonométrique bien connue, factoriser ... et le résultat tombe alors sans se fatiguer.

[mathelot]

bonjour,
cos(x)+sin(x)=-1
en élevant au carré, on obtient l'équation "produit nul":
sin(x)cos(x)=0
ou alors, si l'on connait ses formules de trigo:
sin(2x)=0

[GaBuZoMeu]

Il y a un petit trou dans la raquette du raisonnement que tu suggères, mathelot : n'est pas équivalent à . Par contre, est bien équivalent à .

[mathelot]

je sais bien. Mais je ne souhaite pas raisonner par équivalence, mais simplement vérifier les solutions trouvées,
a postériori. Seulement, comme tout le monde, je ne brûle pas mes étapes.

[Black Jack]

Salut,

cos(x) + sin(x) = -1
cos(x) + cos(x - Pi/2) = -1

Avec cos(a)+cos(b) = 2.cos((a+b)/2) * cos((a-b)/2), il vient :

2.cos(x - Pi/4) * cos(Pi/4) = -1

2.cos(x - Pi/4) = -V2

cos(x - Pi/4) = -(V2)/2

+/- (x - Pi/4) - 2.k.Pi = 3.Pi/4 (avec k dans Z)

On traite les 2 cas (avec le + et le - du +/-) et on ramène les solutions dans [0 ; 2Pi[ en choisissant les valeurs de k ...

[Sirek8383]

Bonjour, désolé du retard. Le problème est que je ńai aucune leçon sur les équations trigonométriques, les connaissances ce limite uniquement a définir les cosinus et sinus d’une valeur x dans un cercle. La seule formule de cour que j’ai est cosx au carré + sin x au carré =1.
Merci de votre aide!

[Sirek8383]

Tu sais qu'un angle est défini modulo : on peut ajouter ou retrancher un multiple de sans changer l'angle. C'est pour ça qu'on te demande de donner la réponse dans . Si était solution (je te préviens tout de suite, ça ne l'est pas), on n'a pas besoin en se limitant à de mentionner aussi .
Pour la résolution : on peut élever au carré , utiliser une identité trigonométrique bien connue, factoriser ... et le résultat tombe alors sans se fatiguer.

Bonjour, merci de votre réponse! Je crois avoir compris ce que vous voulez me dire, cependant je n’ai aucune leçon sur les équations trigonométriques c’est pour cela que mes connaissances sont faible dans ce domaine. Cependant 2 questions précèdes l’équations donc je vous ai fait par. Ces 2 questions permettent d’illustrer ce dont vous m’avez dit, a savoir développer (sinx +cos x +1)au carré. Est-ce une aide?
Merci de l’aide!

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est une aide. Et tu n'as besoin d'utiliser que la formule que tu connais.

[Black Jack]

... Et ne pas oublier que l'élévation au carré peut générer des solutions parasites.

[GaBuZoMeu]

Passer de à (c'est ce que l'énoncé suggère) ne génère aucune solution parasite.

[Black Jack]

Cela dépend de la manière utilisée ...

Cos x+ sinx = -1
Cos x+ sinx + 1 = 0
(Cos x+ sinx + 1)² = 0
cos²(x) + sin²(x) + 1 + 2.sin(x).cos(x) + 2.cos(x) + 2.sin(x) = 0
2 + 2.sin(x).cos(x) + 2.cos(x) + 2.sin(x) = 0

2.(1 + 1/2.sin(2x) + cos(x) + sin(x)) = 0

et par hypothèse, cos(x) + sin(x) = -1 --> sin(2x) = 0

2x = k.Pi

x = k.Pi/2, soit donc les valeurs de x dans [0 ; 2.Pi[ : 0 ; Pi/2 ; Pi ; 3Pi/2

Mais l'élévation au carré du début peut générer des solutions parasites, il faut donc vérifier celles qui conviennent et celles qui ne conviennent pas.

Et après vérification, seul Pi et 3Pi/2 conviennent.

Ce qui ne signifie pas qu'on ne puisse pas faire autrement.

[GaBuZoMeu]

Je maintiens que le passage de à , n'introduit aucune solution parasite, ça me semble pourtant clair, non ? Pas pour toi Black Jack ?

Après, tu introduis des solutions parasites en faisant d'autres manips, c''est dommage mais ce n'est pas grave si on vérifie.

Un moyen qui n'introduit aucune solution parasite (je pense que l'énoncé poussait dans cette voie) est de remarquer que

(ce qui montre bien d'ailleurs que l'élévation au carré du début n'a introduit aucune solution parasite).

PS. Tu n'introduis pas de solution parasite quand tu passes de à (rappelons que , c'est ). Par contre, tu en introduis après en passant de à .