Spe maths

[lydiaribelle]

Bonjour,
Je n'arrive pas a faire cette question de mon exercice:
1425 peut-il etre ecrit comme somme de 2 cubes?
Merci d'avance pour votre aide!

[GaBuZoMeu]

On soupçonne, vu la façon dont la question est posée, que la réponse est non.
Un outil pour obtenir une telle impossibilité est souvent de travailler par congruence modulo un certain entier (le module). Ici, il faudrait choisir un module n qui donne peu de cubes modulo n.
Un nombre premier n tel que n-1 est divisible par 3 est un bon candidat (je sais qu'il y a alors (n-1)/3+1 cubes modulo n, mais ça dépasse à mon avis le cadre du lycée). Mais tu peux tout de même essayer de profiter du tuyau.

[lydiaribelle]

Merci pour votre reponse.
Malheureusement, nous avons pas encore vu les congruence donc notre prof ne veut pas qu'on l'utilise.
Y'aurait-il une autre possibilite? Peut etre avec une disjonction des cas ou un raisonnement par l'absurde
?

[GaBuZoMeu]

Oui, il y a un autre moyen : faire la liste des cubes de 1^3 à 11^3 et vérifier que 1425 ne peut pas s'écrire comme somme de deux de ces nombres (il n'y a jamais que 11 nombres). L'exercice deviendra un peu plus difficile s'il s'agit de montrer que 8641975237081 ne peut pas s'écrire comme somme de deux cubes.


Tu dis que c'est une question de ton exercice. Y a-t-il d'autres questions avant ? Lesquelles ?

[lydiaribelle]

Oui, voici les questions precedentes:

1. Quel est le reste dans la division euclidienne de 1425 par 7?
-J'ai trouvé 4

2. Recopier et completer le tableau:

Reste de la division euclidienne de n par 7: 0 1 2 3 4 5 6
Reste de la division euclidienne de n^3 par 7: 0 1 1 6 1 6 6

-Ici, j'avais completé la deuxieme ligne du tableau

[GaBuZoMeu]

Ben voila ... l'exercice travaille modulo 7 sans le dire, c'est bien ce que je te soufflais.
Quelles valeurs peut prendre le reste de la division euclidienne de m^3+n^3 par 7 ?

[lydiaribelle]

Les restes sont 0,1 et 6?

[GaBuZoMeu]

Mais non, voyons ! Tu as lu de travers ma question. Tu viens de redonner la liste des restes possibles pour la division d'un cube. Je te demande la liste des restes possibles pour la division de la somme de deux cubes.

[lydiaribelle]

J'ai du rendre l'exercice ce matin. J'ai tout simplement mis que le reste dans la division euclidienne de deux cubes par 7 ne va jamais valoir 4. Donc 1425 ne peut pas etre ecrit comme somme de deux cubes.

[GaBuZoMeu]

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le reste dans la division euclidienne de deux cubes par 7 ne va jamais valoir 4

La division euclidienne de la SOMME de deux cubes
Quelques cas :
Si le reste de m^3 est 0 et le reste de n^3 est 1, le reste de m^3+n^3 est 1
Si le reste de m^3 est 1 et le reste de n^3 est 1, le reste de m^3+n^3 est 2
Si le reste de m^3 est 6 et le reste de n^3 est 6, le reste de m^3+n^3 est ?