Équivalence entre conditions au bord et termes sources

[Skullkid]

Bonjour,

Un peu par curiosité, je suis à la recherche de théorèmes qui décrivent comment remplacer des conditions au bord par des termes sources dans une équation aux dérivées partielles (type Poisson ou transport, mais s’il y a des résultats similaires pour des opérateurs différentiels plus généraux je suis preneur).

Histoire de pas être trop vague et de formaliser un peu, dans le cas de l’équation de Poisson, si je me donne deux ouverts de , et une version approchée de l’indicatrice de (genre constante égale à 1 sur et a support coincé entre et ), l’idée c’est de remplacer la résolution de sur avec sur par sur avec sur , où G est une fonction simple de g, , et leurs dérivées. L’énoncé recherché dirait quelque chose comme "F est d’autant plus de proche de f sur que est proche de l’indicatrice", via une majoration de l’intégrale de la différence ou quelque chose du genre. Pour la régularité, on peut supposer que tout le monde est , intégrable à loisir, etc.

En bidouillant un peu avec l'exemple de l'équation de Poisson, je suis tombé sur qui à vue de nez fait l'affaire comme "équation de substitution", mais qui a le désavantage de sensiblement compliquer la forme du membre de gauche.

Ça ressemble énormément à un problème de formulation faible ou au sens des distributions, donc j’imagine que c’est de ce côté-là qu’il faut chercher, mais une (relativement courte) recherche sur le net n’a rien donné pour l’instant, j’ai peut-être pas les bons mots-clés ou les bonnes références… Bref, si ça dit quelque chose à quelqu’un ici !

[Yezu]

Salut,

Je suis TRÈS LOIN (voire pas du tout) d'être un expert, mais est-ce que tu as essayé de trouver un truc avec les fonctions de Green ?

[Skullkid]

Salut, je suis pas sûr de voir ce que tu as en tête, pourrais-tu détailler ?

Vu que je cherche à changer la forme de mon domaine et de mes conditions aux bord (voire de mon opérateur différentiel), a priori les fonctions de Green des deux problèmes n'ont aucune raison de se ressembler ou de pouvoir se déduire simplement l'une de l'autre.

[Yezu]

Laisse faire, je n'ai pas bien saisi ton problème initial.