Une intégrale
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Dacu
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par Dacu » 12 Nov 2019, 18:34
Bonsoir à tous,
Soit
où la fonction
est continue et dérivable au moins sur l'intervalle d'intégration
et les dérivés de la fonction
.Montrer que
.
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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anthony_unac
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par anthony_unac » 19 Nov 2019, 16:27
Bonjour Dacu,
Ce problème est intéressant et vu qu'il laisse sans voix, je te laisse nous donner quelques pistes de réflexions. A première vue, j'aurais envie de scinder
en trois petites intégrales dont la dernière manifestement vaut
.
Concernant la forme globale de
, elle rappelle une identité remarquable.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 19 Nov 2019, 17:51
Le résultat est évidemment faux.
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anthony_unac
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par anthony_unac » 19 Nov 2019, 19:10
On changerait donc d'exercice en cherchant à prouver la fausseté de la proposition de Dacu ?! Un "simple" contre exemple suffirait à faire plier l'édifice.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 19 Nov 2019, 19:11
Où ça un édifice ?
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tournesol
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par tournesol » 19 Nov 2019, 19:20
Si f est analytique au voisinage de 0 , alors f(x)=e^x et l'intégrale vaut environ 9,631 , valeur tres proche de 2891/300=9,6366...
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tournesol
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par tournesol » 19 Nov 2019, 21:40
cette intégrale n'est pas bornee
un contre exemple est
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anthony_unac
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par anthony_unac » 19 Nov 2019, 22:20
tournesol a écrit:Si f est analytique au voisinage de 0 , alors f(x)=e^x et l'intégrale vaut environ 9,631 , valeur tres proche de 2891/300=9,6366...
Bon je crois que là on est loin du compte tournesol même si on joue avec les logiciels donnant une forme close à partir d'une estimation numérique (9.631 est trop éloigné de 9.6366)
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anthony_unac
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par anthony_unac » 19 Nov 2019, 22:22
tournesol a écrit:cette intégrale n'est pas bornee
un contre exemple est
là par contre j'apprécie l'idée car effectivement e^x se plie bien aux donnés de l'exercice.
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mathelot
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par mathelot » 19 Nov 2019, 22:26
bonsoir,
l'intégrale I est définie car les fonctions continues sont Riemann-intégrables.
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tournesol
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par tournesol » 19 Nov 2019, 23:15
Cette intégrale n'est pas bornée en tant que fonction de f .
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mathelot
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par mathelot » 19 Nov 2019, 23:26
ah oui,d'accord;et si l'on rajoute l'hypothèse "f analytique sur [0,1]" ?
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 20 Nov 2019, 07:51
La seule fonction analytique sur un intervalle ouvert contenant
dont le développement de Taylor à l'origine est
est
.
L'hypothèse d'analyticité ne figurait pas dans l'énoncé de Dacu. La connaissance des dérivées successives en 0 ne donne alors aucun renseignement sur le comportement de
en dehors d'un voisinage de 0 : on peut prendre par exemple une fonction
qui vaut identiquement 0 sur
, identiquement
sur
et est positive entre les deux.
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tournesol
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par tournesol » 20 Nov 2019, 07:54
Bonjour mathelot
si f est analytique , alors f est la fonction exponentielle .
dans mon contre exemple , mes fonctions f ne sont pas analytiques. En faisant tendre k vers + l'infini on montre que la famille
des intégrales correspondantes n'est pas bornée .
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tournesol
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par tournesol » 20 Nov 2019, 07:56
Bonjour GaBuZoMeu , nos messages se sont croisés .
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tournesol
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par tournesol » 20 Nov 2019, 12:22
GaBuZoMeu , ta fonction nulle ne verifieras pas les conditions des dérivees sucessecives .
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 20 Nov 2019, 12:50
Oui, bien sûr. Il faut prendre
la fonction en question.
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Dacu
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par Dacu » 24 Nov 2019, 07:20
Bonjour à tous,
J'ai essayé en considérant que la fonction
peut être écrite comme une série Maclaurin et ainsi j'ai résolu le problème ...Mon raisonnement est-il correct?Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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