Série de Taylor
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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DioAlex
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par DioAlex » 22 Nov 2019, 10:14
Bonjour, j'ai un problème avec un exercice de maths dont l'énoncé est le suivant
, après plusieurs recherches sur les séries de Taylor je ne parviens pas à comprendre leur fonctionnement. Ici, je ne comprends pas ce qu'on veut dire par "évaluer la racine carrée de 3" et c'est ce qui me pose problème.
Je vous remercie pour votre attention et j'espère que vous pourrez m'aider
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 22 Nov 2019, 10:47
L'énoncé est assez farfelu. Pourquoi
autour de
et pourquoi pas
autour de 0 (avec
et
) ???
Moi je partirais de
et de
.
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tournesol
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par tournesol » 22 Nov 2019, 11:48
On peut aussi poser
puis calculer
,
, et enfin
En déduire f(4)=2 ,
,
et enfin
Approximer
par la série de taylor en 4 :
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anthony_unac
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par anthony_unac » 22 Nov 2019, 16:41
Salut en reprenant l'idée de tournesol, tu peux choisir de travailler avec
ce qui permet de ne pas se fouler pour le calcul de f(1), f'(1), f''(1) etc ...
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tournesol
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par tournesol » 22 Nov 2019, 17:20
Surtout pas car les puissances de 2 grèvent la précision .A l'ordre 3 , on obtient :
. No comment .
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 22 Nov 2019, 17:23
Hum hum, faire
n'est pas trop top pour assurer la convergence du développement en série de
:
- Code: Tout sélectionner
h=var('h')
T=sqrt(1+h).series(h==0,10)
print T.subs(h=2).n(15)
Tbis=sqrt(1+h).series(h==0,11)
print Tbis.subs(h=2).n(15)
Réponse :
5.234
-4.262
Magnifiques approximations de la racine carrée de 2, n'est-ce pas ?
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anthony_unac
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par anthony_unac » 22 Nov 2019, 17:33
Mince, j'ai commis une erreur sur le choix de h. Quelle est la valeur optimal de h pour assurer la convergence ? Que signifie n(15) dans ton code ?
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tournesol
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par tournesol » 22 Nov 2019, 17:37
x=3 et h=0 .
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anthony_unac
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par anthony_unac » 22 Nov 2019, 17:39
Et en prenant h=-1, ça ne part pas dans les choux ? Pourtant c'est éloigné de h=0
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 22 Nov 2019, 17:42
GaBuZoMeu a écrit:Moi je partirais de
et de
.
Pour
, on est à l'aise avec
!
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Skullkid
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par Skullkid » 22 Nov 2019, 18:06
Bonjour,
Pour te donner un peu plus de détails, anthony_unac, si tu cherches à approcher
en tronquant la série de Taylor en
, tu es certain d'aller dans le mur si
(la série diverge). Si
, la série converge et ton approximation sera d'autant plus efficace que
est petit devant
. Ici la réponse attendue est très probablement
et
, mais un élève facétieux pourrait par exemple choisir
et
.
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anthony_unac
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par anthony_unac » 22 Nov 2019, 18:16
Merci Skullkid pour ce complément d'info. Le dernier exemple que tu donnes est particulièrement astucieux et j'imagine que la "vitesse de convergence" de ce dernier n'en est que meilleur.
Modifié en dernier par
anthony_unac le 22 Nov 2019, 18:31, modifié 1 fois.
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tournesol
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par tournesol » 22 Nov 2019, 18:21
Joli Skullkid .Il fallait penser aux rationnels .
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tournesol
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par tournesol » 22 Nov 2019, 18:46
Skullkid , c'est plus que joli .
Avec ta methode , la precision a l'ordre 1 est meilleure que la precision a l'ordre 3 avec -1 .
On peut generaliser a l'ordre 1 en utilisant
, n etant tel que
est un carre .
par exemple pour n=26 , la précision est de
Et en plus le procédé fourni des approximations rationnelles simples de
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DioAlex
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par DioAlex » 23 Nov 2019, 10:54
Merci beaucoup pour vos réponses, je dois avouer que nous n'avons pas pour habitude d'utiliser h avec les séries de Taylor mais bien x et x0. Nous avons depuis reçu les réponses de l'exercice qui étaient x = 4 et x0 = 2, j'ai alors essayé de trouver comment arriver à la valeur x0 = 2 mais je n'ai pas encore vraiment compris le procédé.
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Skullkid
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par Skullkid » 23 Nov 2019, 18:00
Si tes notations
et
correspondent à la série de Taylor
alors ça ne va pas : prendre
et
donne une série divergente, la même que celle évaluée par tournesol et GaBuZoMeu vers le début du thread.
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DioAlex
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par DioAlex » 24 Nov 2019, 15:26
C'est bien à cette série de Taylor que le x et x0 correspondent, et les valeurs x = 4 et x0 = 2 sont les valeurs réponse de l'exercice.
Ce que je ne comprends pas vraiment dans ce thème des séries de Taylor c'est, comment fait-on pour trouver le x0 le plus adéquat pour approximer une valeur de la fonction ? C'est vraiment une notion qui reste floue pour moi.
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par GaBuZoMeu » 25 Nov 2019, 10:06
Tu n'as visiblement pas compris le corrigé donné. Si tu veux de l'aide, il faudrait transcrire des choses plus précises sur ce qui t'a été dit.
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