Entiers

[ennaji00001]

Salut tout le monde .
Pouvez vous m'aider à trouver m et n deux entiers tels que:
3.2^(m)+4=n^2
Et merci

[anthony_unac]

Salut, bon en reprenant les connaissances de base, je dirais que nous sommes face à une équation et deux inconnues. Peut être pourrais tu nous en dire plus sur m et n ou sur l'obtention de cette relation afin qu'on puisse réduire le champs de recherche.

[lyceen95]

On a 3 termes : 3.2^m , 4 et n^2.
4 et n^2 sont des entiers.
Dans quels cas 3.2^m est il un entier ? Uniquement quand m=0.
On cherche alors n entier tel que n^2=5.
Pas de solution.

Ou alors j'ai peut-être mal lu l'énoncé. 3.2^m , c'est (3 + 0.2)^m , ou c'est 3*(2^m)

Autrement dit, le point est le séparateur décimal, ou bien le symbole de la multiplication ?

[ennaji00001]

c'est 3*2^m monsieur

[Noemi]

Bonjour ennaji00001,

Les premières solutions :
m = 2 et n = 4
m = 6 et n = 14

[ennaji00001]

Y a-il une méthode générale?

[Noemi]

Tu commences par indiquer que n est un multiple de 2 donc :
n = 2k, donc 3*2^m + 2^2 = 2^2* k^2
en simplifiant pour m ≥2
3*2^(m-2) + 1 = k^2
à résoudre
k^2 - 3*2^(m-2) = 1

[Noemi]

Tu résous :
k^2 - 3*2^(m-2) = 1 ou
3*2^(m-2) = (k-1)(k+1)
k-1 est un multiple de 2 ou de 3
idem pour k+1

[ennaji00001]

je n'arrive pas encore

[Lostounet]

Salut tout le monde .
Pouvez vous m'aider à trouver m et n deux entiers tels que:
3.2^(m)+4=n^2
Et merci

Salut,

3*2^m = n^2 - 2^2
3*2^m = (n - 2)(n + 2)

Nous constatons que 3*2^m est la décomposition en facteurs premiers de (n - 2)(n + 2).
3 divise n - 2 ou 3 divise n + 2

Si n - 2 = 3p
n = 3p + 2

Donc on en vient à 3*2^m = 3p(3p + 2)

Soit 2^m = p(3p + 2)

Les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 16....
Si p = 2, alors 2*(6 + 2) = 16 convient donc p = 2 ok
Si p = 3, alors 3(9 + 2) = 33 non
p = 4, 4(14) = 56
p = 5, 5(17) = 85 non
....

Je cherche plus tard.

[Noemi]

Je reprends à partir de :
3*2^(m-2) = (k-1)(k+1)
Deux cas
k-1 est un multiple de 3 (forme 3p), alors k+1 est une puissance de 2 (forme 2^q)
ou
k-1 est une puissance de 2 (forme 2^q), alors k+1 est un multiple de 3.

Pour le premier cas :
k+1 = 2^q, cela donne k-1 = 2^q - 2
d'ou (k-1)(k+1) = 2^q(2^q - 2) = 2^(q+1)(2^(q-1) - 1)
en posant 2^(q-1) - 1 = 3 on obtient q = 3, soit k = 7 d'ou n = 14 et m = 4

Je te laisse faire l'autre cas.

Une remarque pour le post de Lostounet : une erreur c'est 3*2^m = 3p(3p+4)