Topologie

[kinchiro]

est ce que un espace metrique compact est borne

[sofianmakhlouf]

Bonsoir

oui si un espace metrique est compact alors il est borné.

[mathelot]

Soit (X,d) un espace métrique compact et R un réel strictement positif.
On considère le recouvrement de X par des boules ouvertes de centre x et de rayon R



X étant compact , est recouvert par un nombre fini de boules ouvertes de centre
et de rayon R.

Soient x,y deux points de X.
Il existe et tels que et
d'où


donc X est borné.

PS:on se sert du fait que les boules ouvertes sont des ouverts de la topologie.