Formule de nombres des points dans un cercle

[Jibrilarto]

Bonjour, en faisant un peu de recherches sur les olympiades, je suis tombée sur cette exercice:
On considère un ensemble fixé E de 2017^2019 points du plan. Prouver qu’il existe un cercle du plan à l'intérieur duquel on a exactement 2018 points de l’ensemble E (ces point n’appartiennent pas au cercle)
la première idée qui m'arrive est que l'ensemble E ne sert à rien, et qu'on doit simplement montrer qu'il existe un cercle du plan qui contient 2018 points de cordonnées entiers, alors j'ai fait ça: https://imgur.com/a/eAktTMi
cependant le résultat que je trouve est irrationnel grâce au racine de 2022, ce qui me rend pas sure est ce qu'on peut simplement dire "si on prend un cercle du plan, de centre un point de cordonnées entiers relatifs et de rayon r=46.96665 , le cercle va donc contenir 2018 points" ? je ne sais pas, aussi je commence à croire que l'ensemble E ne peut pas être inutile, j'aimerais votre aide et point de vue, merci

[GaBuZoMeu]

Ton truc ne va pas pour diverses raisons (entre autres parce qu'on ne fait aucune supposition sur la disposition des points de E alors que tu prends les points du réseau entier dans le plan.
On peut procéder ainsi : choisir un point O du plan qui n'appartient à aucune des médiatrices de paires de points de E (ça ne fait qu'un nombre fini de droites, donc on peut bien trouver une foultitude de points en dehors). Chaque cercle de centre O passe donc par au plus un point de E. Tu vois comment conclure ?

[Jibrilarto]

franchement je n'ai pas bien compris comment utiliser ca pour arriver à notre reponse

[lyceen95]

Si on prend ce point O qui n'est sur aucune de médiatrices d'aucun couple de points, que peut-on dire de ce point O ?
On va prendre le problème dans l'autre sens. Si on prend O sur la médiatrice de 2 points A et B, que peut-on dire de ce point O ?

[GaBuZoMeu]

Chaque cercle de centre O passe donc par au plus un point de E.

D'accord ?
Et si on part du rayon 0 et qu'on augmente le rayon en comptant les points de E rencontrés ?

[Jibrilarto]

ah alors on va arriver à une cercle qui contient exactement 2018 points car chaque cercle de centre 0 n'a qu'une point qui appartient au cercle, je vois maintenant merci

[GaBuZoMeu]

Qui a vu voira.