Une implication que je n'arrive pas a montrer

[Jibrilarto]

bonjour, hier le vendredi on avait un examen de maths, ou se trouvait cette question que personne de notre classe n'a su faire: monter que x+y=1 ⇒ (1+1/x)(1+1/y)>=9 avec (x,y)∈R+*
pendant l'examen la première idée qui m'arrivait est de montrer la contraposée, je suis arrivé à 1+x+y+8xy qu'on doit montrer qu'elle est inférieure à 0, mais je ne savait plus quoi faire
après j'ai essayé de remplacer x par 1-y dans la deuxième expression sans vain, là j'ai abandonné la question pour ne pas perdre du temps de l'examen.
alors j'aimerais quelques idées pour me debloquer, car je ne trouve toujours pas de solution ou idée, merci en avance

[anthony_unac]

Bonsoir,
Si x et y appartiennent à R+* et sont tels que x+y=1 que peut on en déduire de x et de y ? à quel intervalle appartiennent ils ?

[Jibrilarto]

ils appartiennet à [0,1] ? ahhh je vois maintenant merci, je vais essayer de refaire l'exercice avec cette information

[anthony_unac]

ouais tu es sur le bon chemin en fait c'est l'intervalle ]0;1[

[Jibrilarto]

alors ce que j'ai trouvé c'est que:
puisque (x,y)∈(]0,1[)² et x+y=1
les valeurs de x,y vont varier entre (0,5 et 0,5), le cas ou l'expression (1+1/x)(1+1/y) est égale à 9
et pour la valeur maximale de l'expression pour x,y=(0,00...1 et 0,99....9) l'expression ne cesse d'augmenter vers l'infini tant qu'on ajoute des zéros
là je ne sais plus quoi faire, on peut montrer que la fonction f(x,y)=(1+1/x)(1+1/y) est croissante sur ]0,1[?
je comprends l'idée générale mais je n'arrive pas à l'exprimer

[anthony_unac]

Bon je te propose de t'intéresser à présent à la fonction f qui à x associe (1+1/x)(1+1/y) en commençant par développer ce produit ...

[Jibrilarto]

j'ai pris y= 1-x et enfin je suis arrivé à (x+2-x²)/(x-x²) mais je ne sais pas comment utiliser ce résultat

[anthony_unac]

tu as remplacé y par 1-x trop vite ... recommence en gardant x et y le plus simplement du monde.

[Jibrilarto]

on arrive à 2/(x-x²)+1, est ce le résultat correcte?

[anthony_unac]

Y aurait un hic avec ton développement mais pour ma part on arrive à un truc du genre :
(1+1/x)(1+1/y)=1+1/y+1/x+1/(xy)
et en réduisant au même dénominateur (xy) on arrive à ...

[Jibrilarto]

oui on réduit au même dénominateur et on arrive à (1+y+x+xy)/xy puis j'ai remplacé x+y par 1: (2+xy)/xy=2/xy+1
enfin j'ai remplacé y par 1-x

[anthony_unac]

Oui c'est ça et ensuite tu étudies f(x)=1+(2/(x-x²)) BREF on va la faire courte tu détermines sa dérivée puis tu cherches la valeur de x tel que la dérivée s'annule. Tu va tomber sur x=1/2 qui s'avère être un minimum sur l'intervalle 0;1 : https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... 81-x%29%29

[Jibrilarto]

mais en fait on n'a pas encore étudié la dérivée en classes, donc je ne crois pas que je peux l'utiliser pour résoudre le problème :c

[anthony_unac]

Merde, je suis désolé de t'avoir embarqué la dedans dans ce cas.

[aymanemaysae]

Bonsoir ;

Tu as : x + y = 1 , donc : y = 1 - x , ce qui donne que x et y appartiennent à ]0 ; 1[ .

On a : (1 + 1/x)(1 + 1/y) >= 9 ;
<==> ((x + 1)/x)((y + 1)/y) >= 9 ;
<==> (x + 1)(y + 1) >= 9xy car x et y € ]0 ; 1[ ;
<==> xy + x + y + 1 >= 9xy ;
<==> x + y + 1 >= 8xy ;
<==> 2 >= 8xy = 8x(1 - x)
<==> 1 >= 4x(1 - x)
<==> 1 >= 4x - 4x²
<==> 4x² - 4x + 1 >= 0
<==> (2x - 1)² >= 0 proposition toujours vraie pour x € ]0 ; 1[ ;
donc x + y ==> (1 + 1/x)(1 + 1/y) est une proposition vraie .

[anthony_unac]

donc x + y =1 ==> (1 + 1/x)(1 + 1/y)
Merci aymanemaysae d'avoir dépatouiller le truc car je l'avais embarqué vers des choses hors programme. Tu es prof ?

[aymanemaysae]

Bonsoir ;
Non ; seulement un passionné .
Dans tous les cas c'est moi qui te remercie car le chemin que j'ai suivi c'est toi qui l'a tracé .
Encore une fois Merci .

[cassiopella]

@aymanemaysae, à mon avis il faut montrer l'implication : le passage de à , alors que tu montre l'inverse. Et il faut éviter au maximum les flèches, on ne peut les utiliser que dans les assertions de logique. Résolution d'une équation n'est pas une assertion logique. Ici on demande de montrer que si est vraie, alors est vrai aussi. C'est le seul endroit où la flèche peut être utilisé.

On va transformer la deuxième partie : est équivalent à .

Démonstration :
(1) Puisque , alors .

(2) Par ailleurs, posons avec , dans ce cas .
Si on fait le produit des deux, on obtient . Comme , alors . On en déduit que et donc , ou encore .

D'après le (1) , alors en remplaçant dans (2) et on obtient .

CQFD

[cassiopella]

J'ai oublié de mentionner dans (2) que comme sont les réels positifs, alors est vraie ssi et , c'est-à-dire . Puis on peut exprimer en fonction de .