Fonction racine nème

[SamiaEl]

Bonjour, s'ils vous plait je me suis bloqué dans cet exercice et j'aimerai bien que vous m'aidiez:

Soit g la fonction numérique tel que :
g(x)=
1) déterminer, Dg, l’ensemble de définition de la fonction g.
2) étudier les variations de la fonction g sur Dg
3) montrer que l’équation g(x)=2x admet une unique solutiondans l’intervalle
]0,1[
4) a) justifier que la fonction g admet une réciproque définie sur l’intervalle [1,+infini[
b) résoudre , dans[1,+infini[, l’équation g-1(x)=-
c) dresser le tableau des variations de la fonction réciproque ( l’expression de la réciproque
en fonction de x n’est pas demandée )
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J'ai trouvé une réponse à toute les question mais j'ai aucun idée pour résoudre la dernière question je sais juste que chaque fonction bijective admet une fonction réciproque . Merci d'avance

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Un petit rappel .

Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I .

a.
f(I) est un intervalle J de même nature que I (fermé , ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de f aux extrémités de I .

b.
La fonction f admet une fonction réciproque définie sur J = f(I) ; plus précisément , f définit une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J , donc il existe une fonction notée f^(- 1) de J dans I telle que :
(x € I et y = f(x)) <==> (y € J et x = f^(- 1)(y)) .

c.
La fonction réciproque f^(- 1) est continue et strictement monotone sur J , de même sens de monotonie que f .

d.
Si f est dérivable en un point x0 de I et si f ' (x0) est non nul , alors f^(- 1) est dérivable au point y0 = f(x0) et
f^(- 1) est dérivable au point y0 = f(x0) et f^(- 1) ' (y0) = 1/(f ' (x0)) = 1/f ' (f^(- 1)(y0)) .


Pour ta question tu auras essentiellement besoin de a. , b. et c. .

[SamiaEl]

Merci beaucoup pour le petit rappel
4-a- on a g continue sur Dg et g strictement décroissante sur son domaine de définition donc g admet une réciproque définie sur [1,+infini[

b- on a g^-1(x)= éq à g()=x
éq à x=3
c-
je suis pas sûr de ce que j'ai fait

x -infini 3 +infini
g^-1 + 0 décroissante
je suis bloqué encore Pardon pour le dérangement

[aymanemaysae]

La fonction g est continue et strictement décroissante sur I = [1 ; + infini[ .

On a : g(1) = 1 et lim(x--> + infini) g(x) = - infini ; donc : J = g(I) = ]- infini ; 1] .

g admet donc une fonction réciproque g^(- 1) définie sur ........... tel que g^(- 1)(J) = I .

Conclusion : g^(- 1) est strictement .......................... sur J .

[SamiaEl]

Pardon, g n'est pas définie sur [1,+infini[ donc comment il peut être continue et strictement décroissante sur I

[Carpate]

b- on a g^-1(x)= éq à g()=x
éq à x=3
c-
je suis pas sûr de ce que j'ai fait

Ton calcul est exact :