[DM] Limites

[YounesLahouiti]

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(Sujet)

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour completer mon DM, j'ai marque avec (?) ou (? [Idee de comment commencer]) là où j'ai besoin d'aide,

1.
U° = a^2/2 - a + 3/2
Avec a = 2,9 on remarque que la suite tend vers 1
Avec a = 3,1 on remarque que la suite tend vers +infini

2
a) (?, il faut utiliser le theoreme? Si suite croissante + majoree alors la suite converge)

b) (?)

3. Avec a=2,9
a) On derive la fonction f et on trouve x-1

x-1 = 0
x = 1

La fonction f' est (-) dans l'intervalle ]-infini ; 1] et (+) dans [1; +infini[

Donc dans l'intervalle [1 ; +infini[ la fonction f est croissante.

b) (?)

c) (?, convergente -> suite croissante + majoree)

4. Avec a=3,1
a) (?, si Un > m alors suite minoree)

b) (?)

c) (?)

[titine]

2a) On suppose que (Un) est convergente et que lim Un = l
On a : U(n+1) = (1/2) (Un)² - Un + 1/2
Par passage à la limite, quand n tend vers l'infini :
lim (U(n+1)) = l
lim (1/2) (Un)² - Un + 1/2 = (1/2) l² - l + 1/2
On a donc l = (1/2) l² - l + 1/2

2b) Résoudre l'équation : l = (1/2) l² - l + 1/2
C'est à dire (1/2) l² - 2 l + 1/2 = 0 (équation du second degré)

[YounesLahouiti]

Merci beaucoup, j'en en suus au 3. b)
J'ai montre que c'était vrai à l'ordre n =0 mais je n'y arrive pas à le demontrer à l'ordre n+1

Je bloque encore pour la 3. c) et le 4.

[titine]

Merci beaucoup, j'en en suus au 3. b)
J'ai montre que c'était vrai à l'ordre n =0 mais je n'y arrive pas à le demontrer à l'ordre n+1

Donc tu as montré l'initialisation.
Pour l'hérédité :
Tu supposes que la propriété est vraie pour n , c'est à dire que 1 <= U(n+1) <= U(n)
Or, tu as démontré dans la question précédente que la fonction f est croissante, donc elle conserve l'ordre.
Donc si on a : 1 <= U(n+1) <= U(n)
Alors on a : f(1) <= f(U(n+1)) <= f(U(n))
Mais, par définition, U(n+1) = f (U(n))
et U(n+2) = f (U(n+1))
Donc f(1) <= f(U(n+1)) <= f(U(n)) donne f(1) <= U(n+2) <= U(n+1)
Comme f(1) = 1 ça donne : 1 <= U(n+2) <= U(n+1)
Ce qui prouve bien que si la propriété est vraie pour n, elle est aussi vraie pour n+1.

3c) D'après la question précédente la suite (Un) est décroissante et minorée.
Tu vois pourquoi ?
Donc elle convergé vers une limite l ( théorème )
D'après la question 2b) cette limite est égale soit à 1, soit à 3.
Mais comme U0 = 2,9 et que la suite (Un) est décroissante, sa limite ne peut pas être3.
Conclusion : l = 1

[YounesLahouiti]

Merci pour ta reponse tres utile! Je coince maintenant a la question 4.
Si (Un) n'est pas majoree alors Un > m... et puis je ne sais que faire

[titine]

Merci pour ta reponse tres utile! Je coince maintenant a la question 4.
Si (Un) n'est pas majoree alors Un > m... et puis je ne sais que faire

Si la suite était croissante et majorée, elle serait convergente.
Mais si elle est convergente sa limite est 1 ou 3 ce qui est impossible. En effet U0 = 3,1 et la suite est croissante donc elle ne peut pas avoir une limite inférieure à 3,1.
Donc elle ne peut pas être majorée.

[YounesLahouiti]

Je te remercie! Pour la 4.b) j'ai dit que la suite n'avait pas de limite puisqu'elle n'est pas majoree et elle ne peut pas etre minoree puisque U° = 3.1