Un peu de topologie

[Eagle2453]

Bonsoir,
J’ai une question à traiter un peu délicate pour moi : je dois montrer que l’ensemble OMÉGA des p-uplets de E^p (E un R ou C espace vectoriel de dimension finie) formant une famille libre de E est un ouvert de E^p.
Pour ça j’ai pensé d’abord à revenir à la définition d’un ouvert en montrant que toute famille libre f de E, il existait un rayon positif r tel que la boule ouverte B( f , r) soit dans OMEGA (en utilisant la norme produit).
Puis j’ai essayé autre chose en essayant de trouver une fonction continue (un polynôme avec les coordonnées dans une base par exemple) de E^p dans R ou C, et un ouvert de R ou C tel que l’antécédent de cet ouvert soit OMÉGA.
Pourriez vous me donner une piste ?
Merci d’avance !

[GaBuZoMeu]

Tu pourrais te rappeler d'une condition nécessaire et suffisante portant sur les mineurs d'une matrice à lignes et colonnes () pour que celle-ci soit de rang (c.-à-d. que les vecteurs colonnes de la matrice soient linéairement indépendants).

[Eagle2453]

Je n’ai pas cette propriété dans mon cours mais je suppose que, sachant que le mineur d’ordre i d’une matrice est le déterminant de la matrice carré de dimension i que l’on extrait de la matrice de départ, pour une famille libre, le rang maximal des mineurs non nuls est le cardinal de la famille libre ?
Merci de votre aide ( qui est d’une grande utilité et d’une incroyable récurrence)

[GaBuZoMeu]

Hum, "le rang maximal des mineurs non nuls est le cardinal de la famille libre " est très mal dit.
Un mineur est un déterminant extrait d'une matrice. Le rang d'une matrice est le maximum des tailles de mineurs non nuls extraits de la matrice. Ceci revient à dire que le rang d'une matrice est le maximum des tailles des sous-matrices inversibles extraites de celle-ci.
Une matrice à lignes et colonnes () est de rang si et seulement si l'un de ses mineurs de taille est non nul.

[Eagle2453]

Hum intéressant, ainsi je pourrais essayer de trouver dans l’idée une fonction continue reliant les p-uplets à leur mineur « maximum »

[GaBuZoMeu]

Un p-uplet de vecteurs de R^n, c'est pareil qu'une matrice à n lignes et p colonnes. Un mineur de taille p d'une telle matrice est une fonction continue des coefficients de cette matrice, c'est même en polynôme en les coefficients.
Je te laisse poursuivre.

[Eagle2453]

Merci de votre aide !