Théorème de Lagrange

[MaitreMoulax]

Bonsoir!
Voici la question qu'on me pose. J'ai l'impression de louper des détails.

Soit p un nombre premier. Montrer que si H et K sont deux sous-groupes d’un
groupe G tels que |H| = |K| = p, alors H ∩ K = {e} ou H = K

On sait que H ∩ K  < K et H ∩ K  < H

Ainsi, |H ∩ K| divise |K| et |H ∩ K|  divise |H|

Or, |H|=|K|=p => |H ∩ K| =1 ou |H ∩ K| = p

Si |H ∩ K| = 1 => H ∩ K ={e} car groupe de cardinalité 1 est toujours {e}
Si |H ∩ K| = p , comme H et G sous-groupes de H ∩ K, on sait que |H|=|K| divise |H ∩ K|
Or, comme |H|=|K|=p => H=G Mais pourquoi exactement?

Merci pour vos commentaires et bonne journée!

[GaBuZoMeu]

C'est un raisonnement purement ensembliste : H et K sont des ensembles à p éléments, et leur intersection a p éléments aussi. Tu vois ?

[infernaleur]

Salut,
Soit tu recopies mal soit c'est faux, au départ tu dis HnK < K et après tu dis K est un sous groupe de HnK.

Sinon comme HnK sous groupe de K et H et que ils ont même cardinal ça veut dire HnK=K et HnK=H donc H=K

(désolé GaBuZoMeu )