Eléments propres d'un endomorphisme

[Thouny71]

Bonsoir,

Voici l'énoncé de l'exercice sur lequel je bloque :
Soit E l'eV des fonctions continues sur [0,1] dans R. On pose, pour tout f appartenant à E et x appartenant à [0,1],

phi(f)(x)=intégrale de 0 à x de f(t)dt (Je n'arrive pas à mettre l'équation de l'éditeur à la zone de texte désolé)

La question est : Trouver les valeurs propres de phi.

J'ai montré à la question précédente que phi est un endomorphisme de E. J'ai donc commencé à raisonner par analyse synthèse où je suppose qu'il existe lambda appartenant à R, valeur propre de phi. J'ai dit qu'il existait une fonction f non nulle appartenant à E tel que phi(f)=lambda*f.
Ensuite j'ai raisonner par disjonction des cas : lambda=0 ou différent de 0. Et là je n'arrive pas à continuer.

Merci de votre aide

[Tuvasbien]

Si est tel que pour un certain , en remarquant que , alors en dérivant la première relation on a donc...

[tournesol]

Soit un réel .
entraine après dérivation :
Si , alors f est nulle est donc 0 n'est pas valeur propre .
Si , alors f est solution de l'équation différentielle et donc est de la forme
Un report dans l'équation nous donne et comme lambda est non nul , K est nul et donc f aussi .
Ainsi lambda non nul n'est pas valeur propre .
n'a donc aucune valeurs propre .

[Thouny71]

Merci beaucoup pour vos réponses