Étude asymptote

[Pythagore1234]

Bonjour, je n’arrive pas à trouver les asymptotes en + et - infini de cette fonction :
f(x)=(x+1)*arctan(x-1)

Merci d’avance de votre aide

[mathelot]

bonjour,
pour avoir une asymptote d'équation y=ax+b
il faut avoir

puis

[Pythagore1234]

Oui je sais pour ça mais je n’arrive pas à calculer ces limites

[mathelot]

Quelle est la limite de arctan(x) en +infini,?
Regarde dans ton cours si tu hésites

[Pythagore1234]

C’est pi/2 je crois donc la limite en +infini de f(x) c’est +infini donc on a une forme indéterminée pour f(x)/x que je n’arrive pas à lever

[hdci]

Pour calculer la limite de :

• Quelle est la limite de l'arctangente ?
• Quelle est la limite de ?
• Conclusion ?

[mathelot]

Au voisinage de +infini, il n'y a pas de forme indéterminée pour f(x)/x

[Pythagore1234]

D’accord donc je trouve que lim f(x)/x=pi/2 en +infini et la je me retrouve à nouveau bloqué car je n’arrive pas à trouver la limite de f(x)-(pi/2)x

[mathelot]

il faut etudier la limite de
f(x)-pi/2x=(x+1) arctan(x-1)-pi/2x
pose u=x-1 soit x=u+1
f(x)=g(u)=(u+2) arctan (u)-pi/2(u+1)
g(u)=u(arctan(u)-pi/2)+2arctan(u)-pi/2 avec lim(u)=+infini

lim(2arctan(u)-pi/2 )=pi/2

pour étudier lim(u(arctan(u)-pi/2)) poser v=1/u avec lim(v)=0
et se ramener à la forme

[Pythagore1234]

D’accord j’avais jamais vu ces formules donc merci pour les conseils

[mathelot]

pour étudier lim(u(arctan(u)-pi/2)) poser v=1/u avec lim(v)=0
et se ramener à la forme

lim(u(arctan(u)-pi/2))=lim((arctan(1/v)-pi/2)/v)=lim(-arctan(v)/v)=-1 (*)
quand lim(v)=0

car lim(arctan(v)-arctan(0))/v = arctan'(0)=1

[mathelot]

d'où , quand x tend vers +infini, la courbe de f admet comme droite asymptote la droite d'équation
y=(pi/2)x+(pi/2)-1

[tournesol]

on peut aussi utiliser la formule arctan(x)+arctan(1/x)=(signe de x)pi/2 ainsi qu'un équivalent de arctan(u) en 0 .