DM Maths suites

[Harierod]

Bonjour,

voilà, j'ai un dm de maths à rendre Lundi et je suis bloqué sur une question à l'allure simple mais qui ressemble à un véritable casse-tête pour moi !

Voici l'énoncé :

On considère une suite (Un), définie sur N dont aucun terme n'est égal à -3
On définie alors la suite (Vn) sur N par Vn=\frac{-2}{3+Un}

Ensuite il suffit de dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et de le prouver par une démonstration. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par -1.
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.

1. Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente

-> Faux, contre exemple : Un=\frac{1}{3+n} convergente vers 0 et Vn=-2n tend vers -l'infini

2. Vrai
-1<= Un
3-1<= 3+Un
-2/(3-1)>=-2/(3+Un)
-1>=Vn

3. Faux
Contre-exemple : Un = 1/3+n décroissante , Vn = 2/3+Un est décroissante ?

4. Je n'en ai aucune idée...

Merci pour tout aide !

[pierrelouisbourgeois]

Salut, tu n'as pas mis les autres propositions...

[Harierod]

Salut, tu n'as pas mis les autres propositions...

correction effectué

[hdci]

Bonjour,

je n'ai pas regardé tes questions résolues, uniquement la 4 :

Que signifie qu'une suite est "divergente" : cela veut dire qu'elle n'est pas convergente. Mais cela n'indique pas s'il y a une limite infinie : c'est là le "piège" de la question 4

Par exemple est divergente (elle alterne 1 et -1, donc pas de limite finie). Et dans ce cas à queoi est égal ?

[Harierod]

Bonjour,

je n'ai pas regardé tes questions résolues, uniquement la 4 :

Que signifie qu'une suite est "divergente" : cela veut dire qu'elle n'est pas convergente. Mais cela n'indique pas s'il y a une limite infinie : c'est là le "piège" de la question 4

Par exemple est divergente (elle alterne 1 et -1, donc pas de limite finie). Et dans ce cas à queoi est égal ?

Je dirais que

[hdci]

Attention :


Il faut distinguer n pair et n impair, mais le résultat n'est pas .
Après correction, que peut-on déduire concernant une convergence éventuelle de ?

Au passage, je relève plusieurs erreurs dans tes premiers résultats : par exemple


1) Si alors et cette suite converge.

3) Sans les parenthèses correctement placées ce que tu écris est faux : 1/3+n est égal à n augmenté de un tiers donc la suite est croissante. Tu voulais sûrement écrire 1/(3+n)... Mais tu pouvais prendre une suite plus simple comme

[Harierod]

donc pour le 1), cette affirmation est vrai j'ai compris

pour le 2) je n'ai pas de soucis particulier

pour le 3)effectivement je comptais écrire 1/(3+n) qui est l'expression de base même si effectivement j'aurais pu faire plus simple

4) je suis entrain d'esayer de simplifier l'expression sur une feuille à côté et j'ai trouvé

[hdci]

Pour le 1) l'affirmation est fausse ! Il suffit que le dénominateur ait 0 pour limite... Donc que ait pour limite... ?

Pour le 4) : calcule puis , puis généralise pour et

[Harierod]

Il suffit que (Un) est pour limite -3 vu qu'aucun terme ne doit être égal à -3.

4) V0=-2 et V1=-1, puis il faut que je généralise... Mes pistes sont brouillés. Pouvez-vous m'éclairer sur l'utilité de généraliser pour V2k et V2k+1 ?

[hdci]

Attention à tes calculs :


En généralisant : à quoi sont égaux ?

[Harierod]

Heuu, très bonne question ... J'aurais tendance à dire -2*(1/2^2k) et -2*(1/2^2k+1) mais je me doute que cela correspond à une erreur de débutant, disons que c'est la fatigue des vacances...

[hdci]

Quelle est la règle des signes ? A quoi est égal un produit par 1 ?

[Harierod]

le résultat de (-1)^2k sera toujours 1

[hdci]

C'est cela.
Et pour ?

Et par suite, calcule et avec ces résultats...

[Harierod]

(-1)^2k+1 sera égal à -1

donc pour v2k il faut que je prenne ...?

[hdci]

Puisque et que

[Harierod]

v2k= -1/2 ?

[hdci]

Oui !
De même, quel est le résultat pour

[Harierod]

v2k+1 = -1

[hdci]

Nous y sommes : a tous ses termes de rang pairs égaux à -1/2 et tous ses termes de rang impairs égaux à -1.
Cette suite est-elle convergente ? Donc peut-elle avoir 0 pour limite... ?