Ensemble de fonctions

[flo1012]

Bonjour je dois déterminer l'ensemble des fonctions f définies sur R telles que: f continue en 0
et pour tout (x,y)dans R² f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)

1) Quelles sont les valeurs possibles de f(0)?
Alors j'ai posé f(x+0)=f(x)=f(0)+f(x)+f(x)f(0) donc f(0)+f(x)f(0)=0 donc f(0)[1+f(x)=0 donc f(0)=0 mais je ne vois pas comment trouver d'autres valeurs ?

2) Que peut-on en déduire si f(0)=-1 ? J'ai calculé et en fait f(x) serait =0?

3) Si f n'est pas constante, démontrer alors que: pour tout x de R, f(x) différent de -1.

Merci d'avance

[alben]

donc f(0)[1+f(x)]=0 donc f(0)=0

ou pour tout x,.... donc en particulier f(0)=..
et la suite deviendra cohérente

[pilote]

bein pour la première question tu as 0=0+0 ( pas besoin de démontrer ça :we: ) alors f(0)=f(0)+f(0)+f(0)f(0) d'où [f(0)]^2+f(0)=0 ainsi f(0)=0 ou f(0)=-1
2) si f(0)=-1, on a x=x+0 alors f(x)=f(x)+f(0)+f(0)f(x) donc f(x)=f(x)-1-f(x) ainsi f(x)=f(0)=-1 la fonction est alors constante.
si f n'est pas constante alors f(x)est différent de f(0) pour tout x dans IR donc f(x) diff de -1.

[alben]

si f n'est pas constante alors f(x)est différent de f(0) pour tout x dans IR donc f(x) diff de -1.

Bonjour
Ce raisonnement est très contestable :
f(x) non constant ne signifie pas que toutes les valeurs sont différentes, il peut très bien exister un x tel que f(x)=f(0)
En outre si f n'est pas constant, f(0)=0 et non -1

[Zavonen]

Au lieu de démontrer que P implique Q on peut démontrer (c'est équivalent) que:
non Q implique non P
La question 3 peut donc être reformulée ainsi:
Démontrer que s'il existe un x tel que f(x)=-1 alors f est constante.
Supposons donc qu'il existe un tel x, nommons le X:
On a f(X+y)=-1+f(y)-f(y)=-1 POUR TOUT y
Il suffit de voir que y ->X+y étant une bijection de R, X+y parcourt R quand y parcourt R
f est donc constante et égale à -1

[flo1012]

Merci pour vos réponses j'ai réussit à tout faire sauf pour constante mais j'y travaille! Je voulais vous demander pour la question d'aprés:
Montrer que f est continue sur R et en déduire que f(R) inclus dans ]-1;+inf[.
J'ai trouvé qu'elle était continue mais pour la 2me partie je ne trouve pas!
Merci

[alben]

Bonjour,

Théorème des valeurs intermédiaires : si f(x) < -1 comme f(0)=0 il existe c tel que f(c)=-1

[flo1012]

Je ne comprends pas trop l'utilisation du théoréme des V.I ici ?

[alben]

Je ne comprends pas trop l'utilisation du théoréme des V.I ici ?

Rajouter un mot d'explication reviendrait à faire l'exo à ta place. :hum:
Révise ton cours et relis les question précédentes

[maturin]

ce que veut dire alben c'est te rappeler que f(x)=-1 est impossible car tu l'as montré à la question précédente.

[flo1012]

Oui mais je connais bien mon théoréme et ce qui me bloque c'est qu'il commence par: "si f est continue sur [a,b]..." alors qu'ici f est continue sur R??

[maturin]

ben considère un point a tel que f(a) n'est pas dans ]-1,inf[
et trouve un point b tel que f(b) est dans ]-1,inf[

[alben]

Oui mais je connais bien mon théoréme et ce qui me bloque c'est qu'il commence par: "si f est continue sur [a,b]..." alors qu'ici f est continue sur R??

Cette remarque est assez étonnante, je serais curieux de savoir comment tu as montré que f est continue sur R à partir de la continuité en 0.