Coniques

par **Lucky** » 22 Nov 2006, 23:23

Voilà, je suis en classes prépas PCSI et j'ai l'énoncé suivant :

Soit P une parabole, F son foyer, T sa tangeante au sommet, M un point de T et enfin D une droite quelconque passant par M. Montrer que D est tangeante à P si et seulement si elle est orthogonale à (FM).

Aidez moi svp, je ne sais absolument pas par où commencer, j'ai essayé des trucs par rapport aux propriétés de la parabole mais ça ne me mène à rien...

Merci d'avance

par **Quidam** » 22 Nov 2006, 23:32

Tu as essayé avec des équations ? Ou tu cherches une solution de géométrie pure ?

par **Lucky** » 22 Nov 2006, 23:39

Bah le professeur nous a posé le problème comme cela, je pense que l'on peut introduire des équations puisqu'on l'a vu dans le cours. J'ai tenté de le faire mais je savais pas comment m'y prendre. Donc à mon humble avis il faut bien utiliser des équations.

par **Quidam** » 23 Nov 2006, 00:45

Lucky a écrit:Bah le professeur nous a posé le problème comme cela, je pense que l'on peut introduire des équations puisqu'on l'a vu dans le cours. J'ai tenté de le faire mais je savais pas comment m'y prendre. Donc à mon humble avis il faut bien utiliser des équations.

Ben tu écris l'équation d'une parabole quelconque : y = ax² (il vaut mieux laisser la possibilité à a d'avoir une valeur quelconque, pour pouvoir ainsi gérer "toutes les paraboles possibles". Tu cherches le foyer, la directrice. La tangente au sommet c'est l'axe Ox ; tu choisis un point M(x0,0). Tu fais passer une droite par M et tu cherches à quelle condition elle est tangente à la parabole (2 points d'intersection confondus) ; après tu n'as plus qu'à vérifier l'orthogonalité demandée !

par **c pi** » 23 Nov 2006, 01:02

Bonsoir

Une piste à te proposer :

Soit le point F' symétrique de F par rapport à M.
Ce point F' appartient à la directrice (d) de la parabole (P).
Par F' on élève la perpendiculaire (h) à (d), elle coupe la parabole (P) en N.
(MN) est tangente à la parabole (P).
NF=NF' (N point de la parabole, équidistant du foyer et de la directrice)
et MF=MF' (M milieu de [FF'])
donc (MN) est médiatrice de [FF'] et (MN) orthogonale à (FM).

En articulant ces propriétés judicieusement,
on devrait pouvoir élaborer une démonstration... :zen:

Ici tu trouveras de quoi t'inspirer : en faisant jouer à leur point T le rôle de ton point M, compte tenu de sa situation particulière sur la tangente au sommet, ta démonstration est quasiment faite !

Bon courage !

par **Lucky** » 23 Nov 2006, 07:57

Je vais redemander à mon prof pour savoir s'il veut une démo géométrique pure ou s'il veut qu'on utilise les équations. Merci de m'avoir aidé !
Sinon Quidam, pour ce qui est du points M ses coordonnées c'est plutot (x0;y0 non ? Pour le foyer et la directrice j'utilise les formules du cours, mais je vois pas comment prouver l'orthogonalité ?

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