Suite fonctions

[nikiboos28]

bonjour,
je ne sais pas si ma démo est bien bonne: énoncé
U(n+1)=1/2(un+7/un)
U(n+1)-V7 avec v en racine =1/2(un-V7)²/un
avec u(n)>0

dn est une suite avec d0=1 et d(n+1)=1/2dn²
démontrer que u(n)-V7=<d(n)

J'ai fait: d(n)>=un-V7
dn²>=(un-V7)²
1/2dn²>=1/2(un-V7)²
j'ai alors presque reconstruit l'expression de u(n+1)-V7 mais il manque u(n) au dénumerateur,j'ai donc justifié comme ceci; un>= o, donc 1/2dn²>=1/2(un-V7)²/un
c'est bon?

[LB2]

Edit : c'était une bêtise

Pour en savoir plus et comprendre le "pourquoi" de cet exo :
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_Heron.pdf
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Heron.htm

[nikiboos28]

mais un+1-V7 est donné dans l enonce et c'est bien ca

[LB2]

Ta justification n'est pas correcte, mais presque : il faut utiliser la minoration u_n >= 1 pour pouvoir affirmer que 1/2(un-V7)²/un <= 1/2*d_n^2, c'est à dire 1/2(un-V7)²/un <= d(n+1)

On montre u_n >= 1 par récurrence immédiate sur n. (en fait, on montre 1 <= u_n <= 7 )

Mais tu n'as pas précisé la valeur de u_0 : il est important de la choisir suffisamment proche de V7, sinon la propriété u_n - V7 <= d_n ne sera pas initialisée.

[nikiboos28]

mais quel rapport avec 1?? pk cela revient a faire 1=<un=<7

[LB2]

si ton u_n est 0.0001 par exemple, tu penses pouvoir affirmer sans souci que si 1/2dn²>=1/2(un-V7)², alors 1/2dn²>=1/2(un-V7)²/un ?

[LB2]

Trace le graphe de la fonction qui à x associe 1/2*(x+7/x), ce sera très clair normalement.

pour représenter ta suite 'en chemin' avec l'escalier entre la courbe de la fonction et la droite y=x

[nikiboos28]

j'ai tracé la courbe je la visualise et je comprends qu'avec 0,0001 ca change mais qu'en est il de la demonstration de récurence?

[LB2]

Et bien je te l'ai indiqué, ta preuve fonctionne à condition d'utiliser que u_n >= 1 (pour n>= 1), soit tu l'admets, soit tu le démontres.
Si tu veux démontrer ce résultat préalable, tu peux utiliser que pour tout n, 1/2(un+7/un) >= V7, en le justifiant rigoureusement.
Ceci entrainera que pour tout n, u(n+1) >= V7

[nikiboos28]

je vais démontrer cela mais c'est un>1 qui manque à ma demo tout au départ?