Arithmétique maths

[nikiboos28]

bonjour,
Soit a un entier,
N=a(a²-1) est un multiple de 6
prouver le
ce que jai fait: a=6K on a : 6K(6K²-1) or 6K²-1 appartient à Z dc on a bien a(a²-1)=6K
juste??
merci

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Le produit de deux nombres entiers relatifs consécutifs est pair .
Le produit de trois nombres entiers relatifs consécutifs est un multiple de 3 .

Il te suffit de démontrer ces deux assertions .

[nikiboos28]

je vois pas le rapport en fait

[aymanemaysae]

Un nombre multiple de 6 est en même temps multiple de 2 et multiple de 3 .

[nikiboos28]

oui daccord mais je vois pas comment l'exprimer avec ce quon a

[nikiboos28]

doit on montrer que 2/a(a²-1) et que 3/a(a²-1) ou bien directement 6?

[lyceen95]

La 1ère démonstration que tu as faite n'est pas bonne.
Tu as démontré : si a est un multiple de 6 alors a(a²-1) est un multiple de 6. Ok.
Mais si a n'est pas un multiple de 6, tu n'as pas traité ce cas.

Comme déjà dit, pour montrer que a(a²-1) est un multiple de 6, il suffit de montrer que c'est un multiple de 2 et un multiple de 3.

[nikiboos28]

ok donc jai fait pour a=6K il faut faire pour a=6K+1 , a=6K+2,

[aymanemaysae]

Soyons méthodique , et montrons tout d'abord que a(a² - 1) est un multiple de 2 .

a est un nombre entier naturel , donc il est soit pair pair , soit impair .

Si a est pair , donc il existe un nombre entier naturel k tel que a = 2k ;
donc on a : a(a + 1) = 2k(2k + 1) ; donc a(a + 1) est un multiple de 2 .

Si a est impair , donc il existe un nombre entier naturel k tel que a = 2k + 1 ;
donc on a : a(a + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2 (k + 1)(2k + 1) ;
donc a(a + 1) est un multiple de 2 .

Dans les deux cas , a(a + 1) est pair .

Alors à toi de montrer la deuxième assertion .

[nikiboos28]

Je fais pareil pour 3K+1, 3K+2

[aymanemaysae]

Oui .

a est un nombre entier naturel , donc il existe k un nombre entier naturel tel que
a = 3k ou a = 3k + 1 ou a = 3k + 2 .

On a trois cas à traiter .

Si a = 3k alors a(a + 1)(a + 2) = 3k(3k + 1)(3k + 2) , donc a(a + 1)(a + 2) est un multiple de 3 .

Si a = 3k + 1 alors a(a + 1)(a + 2) = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k + 2) , donc
a(a + 1)(a + 2) est un multiple de 3 .

Je te laisse faire le cas : a = 3k + 2 .

[nikiboos28]

daccord c'est compris merci beaucoup

[aymanemaysae]

De rien . Bon courage .