Modules projectifs et libres

[Naruto30]

Bonjour

Je viens solliciter votre aide sur une question d'algèbre commutative.

On considère l'anneau et le module (c'est à dire le facteur direct et non la somme directe : les uplets avec presque tous nuls sauf un nombre fini: certains le notent avec le produit à l'envers). La question est M est-il libre comme Z-module? projectif ?

Pour la première j'ai répondu non et j'ai réussi à le montrer par l'absurde.
Pour le second point je pense que c'est oui mais je n'arrive pas à trouver un module tel que facteur direct avec M ça donnerait un module libre.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien ta phrase : "c'est à dire le facteur direct et non la somme directe". Le module est bien une somme directe de copies de , non ?
Ce que je comprends c'est que la structure de -module de est donnée par , cette dernière famille étant à support fini puisque l'est.
En fait on peut écrire comme la somme directe des -modules , qui sont simplement comme groupes additifs et où la structure de -module de est donnée par .
Je pense que tu peux voir chaque comme facteur direct de , et de là tu pourras voir comment réaliser comme facteur direct d'un -module libre.

[Naruto30]

Bonsoir

Merci pour ta réponse.
Oui c'est bien de cette structure que je parlais (je voulais juste préciser car il y a des notations différentes pour les facteurs directs celle ci et celle avec le signe produit à l'envers).
Pour bien clarifier ce que tu me suggères c'est de montrer que Zi est projectif et ensuite je pourrais conclure car la somme directe de modules projectifs l'est encore ?

[GaBuZoMeu]

Farpaitement !