Équation différentielle

[Margaux22]

Bonjour ! J’aurais besoin d’aide pour comprendre comment résoudre un problème de maths niveau MPSI..

J’ai une fonction telle que
g’(x)= 1/g(-x)
On cherche les fonctions g dérivables sur R et qui ne s’annulent pas sur R
(g est une solution du problème )

Il faut :
1) justifier que g est dérivable deux fois sur R et donner une expression de g ‘’(x) en fonction de g(x) et de g’(x)

2) si h= g’/g, montrer que h est constante sur R. (On la note lambda)

3) donner la forme générale de g en fonction de lambda et d’une autre constante.

Bref, je ne sais même pas par où commencer car même si Je connais la forme générale d une équa diff, je n’en vois pas comment l’exprimer ici car on a pas le signe du discriminant etc. Est ce que quelqu’un pourrait m’éclairer ?
Merci d’avance

[Black Jack]

Salut,

Je t'aide partiellement ...

g'(x) = 1/g(-x)

g''(x) = g'(-x)/(g(-x))²

g''(x) = g'(-x) * (g'(x))²

g''(x) = (g'(x))²/g(x) (1)

-----
h = g'/g

h' = (g".g - g'²)/g²

Or (1) --> g".g = g'² et donc h' = 0 ---> h est constante

Essaie de compléter et continuer ...

[Margaux22]

Salut,

Je t'aide partiellement ...

g'(x) = 1/g(-x)

g''(x) = g'(-x)/(g(-x))²

g''(x) = g'(-x) * (g'(x))²

g''(x) = (g'(x))²/g(x) (1)

-----
h = g'/g

h' = (g".g - g'²)/g²

Or (1) --> g".g = g'² et donc h' = 0 ---> h est constante

Essaie de compléter et continuer ...

Merci beaucoup grâce à ces explications j’ai pu trouver la forme générale de g :

Vu que g’/g = lambda, g’(x)-lambda * g(x) = 0 : c’est bien une équa diff du premier ordre

Au niveau de la forme générale de g j’ai pu trouver selon la formule du cours qu’en la solution générale est nu * e ^(-lambda*x)
La solution particulière est nulle


Mais maintenant il faut que je montre que nu est différent de 0 et trouver une relation entre lambda et nu... peut être que ma solution générale est fausse..?
Et pour finir je ne vois pas vraiment comment trouver les unions du problème (derrière question)
Merci pour votre réponse !!

[Black Jack]

Salut,

Il y a une erreur de signe.


g'/g = h (avec h constante)

On intègre : ln|k.g| = h.x (avec k une constante)

k.g = e^(h.x)
g(x) = C.e^(h.x) avec C = 1/k une constante.
*****
g' = 1/g(-x)
C.h.e^(h.x) = 1/(C.e^(-h.x))
C.h.e^(h.x) * (C.e^(-h.x)) = 1
C².h = 1

et donc C ne peut pas être nul.

[Margaux22]

Salut,

Il y a une erreur de signe.


g'/g = h (avec h constante)

On intègre : ln|k.g| = h.x (avec k une constante)

k.g = e^(h.x)
g(x) = C.e^(h.x) avec C = 1/k une constante.
*****
g' = 1/g(-x)
C.h.e^(h.x) = 1/(C.e^(-h.x))
C.h.e^(h.x) * (C.e^(-h.x)) = 1
C².h = 1

et donc C ne peut pas être nul.

Okay merci beaucoup pour cette aide précieuse !