Congruences

[Quent007]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai une petite question sur les congruences.
En effet :
Si a ≡ b [c]
peut-on dire que
a≡ b-c[c] ?

Mais surtout, pourquoi ?

Merci d'avance pour votre réponse

[mathelot]

bjr,
si
il existe un entier relatif q tel que

mézalor,

donc

[Quent007]

Merci mais comment passez-vous de
a=b-c+c(q+1)
à
a≡b-c [c]??

[Lostounet]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai une petite question sur les congruences.
En effet :
Si a ≡ b [c]
peut-on dire que
a≡ b-c[c] ?

Mais surtout, pourquoi ?

Merci d'avance pour votre réponse

Salut,

Quand tu dis a ≡ b [c]
C'est exactement dire que (a-b) est divisible par c.
(C'est la définition)
C'est donc dire qu'il existe un entier relatif k tel que
a-b=k*c

Tu vois clairement que dans ce cas on a toujours c= 0 [c]
Puisque clairement c-0 est divisible par c

Tu peux donc toujours ajouter c où tu veux modulo c car cela est pareil qu'ajouter 0 ! C'est la force des congruences.

Donc par exemple si a=b [c]
Alors aussi a+2c = b [c]
Ou bien a= b +c [c]

Ou bien a+c = b+c^2 [c]

c est égal à 0 modulo c.

[Quent007]

Merci beaucoup Lostounet, c'est vraiment très clair !!!

[Lostounet]

Merci beaucoup Lostounet, c'est vraiment très clair !!!

Je t 'en prie.

Mathelot t'a aussi dit la même chose mais différement. Voici son propos

Comme a=b [c]
Alors il existe un entier k tel que
a-b = k*c

Ajoutons et retranchons c à droite du signe =:

a-b = k*c + c - c
L'égalité est toujours valable.

En prenant c en facteur dans k*c + c on a:

a-b = c(k+1) - c

Donc a-b+c = c(k+1)

Nous venons de prouver qu'il existe un entier q = k+1 tel que
a-b+c = q*c

Ce qui veut exactement dire que
a-b+c = 0 [mod c]

Donc que a= b- c [mod c]

Tout cela vient du même fait profond que c est divisible par c. Cela te permettra toujours dès que tu as un multiple de c de prendre en facteur un c qui traine et trouver un entier comme le q pour boucler la boucle.

[Quent007]

Ahh oui d'accord, j'ai compris, merci !