Suite nombre complexe

[Kimonotrn]

Bonjour, j'ai déjà poser un sujet précédemment mais pour que ce soit moins brouillon j'ai décidé de poster le dernier exercice dans un autre sujet. Le voici:

Exercice 3: Une suite

Soit (zn)n∈N une suite de nombres complexes vérifiant : {z0=1+i
z n+1=i zn+5

1°) Calculer z1et z2
.
2°) Résoudre l'équation d'inconnue w : w=iw+5
On note Ω le point d'affixe w

3°) Montrer que le triangle ΩM n M n+1 est un triangle rectangle isocèle.

4°) On définit la suite (vn)n∈N par : vn=zn−w

5°) Calculer v0

6°) Montrer que vn est une suite géométrique

7°) En déduire l'expression de zn en fonction de n

8°) La suite (zn)n∈N prend-elle une infinité de valeurs ? Justifier.

Merci encore!!

[titine]

Qu'as tu fait ?
Les 2 premières questions ne paraissent pas compliquées.

Soit (zn)n∈N une suite de nombres complexes vérifiant : {z0=1+i
z n+1=i zn+5

1°) Calculer z1et z2

z1 = i z0 + 5 = i (1+i) + 5 = ..........
z2 = i z1 +5 = ............

2°) Résoudre l'équation d'inconnue w : w=iw+5
On note Ω le point d'affixe w

w-iw = 5
w(1-i) = 5
w = 5/(1-i) = .......,,,,, ( tu multiplies en haut et en bas par le conjugué de 1-i)

[Kimonotrn]

Qu'as tu fait ?
Les 2 premières questions ne paraissent pas compliquées.

Soit (zn)n∈N une suite de nombres complexes vérifiant : {z0=1+i
z n+1=i zn+5

1°) Calculer z1et z2

z1 = i z0 + 5 = i (1+i) + 5 = ..........
z2 = i z1 +5 = ............

2°) Résoudre l'équation d'inconnue w : w=iw+5
On note Ω le point d'affixe w

w-iw = 5
w(1-i) = 5
w = 5/(1-i) = .......,,,,, ( tu multiplies en haut et en bas par le conjugué de 1-i)

1)
z1= i(1+i) + 5
= i - 1 + 5
=4 + i


z2=i z1 + 5
=i(4 + i) + 5
=4i - 1 +5
=4 + 4i

2)
Re(Z)=5/2
Im(Z)=5/2

Pour la suite je bloque encore...

[titine]

1)
z1= i(1+i) + 5
= i - 1 + 5
=4 + i


z2=i z1 + 5
=i(4 + i) + 5
=4i - 1 +5
=4 + 4i

2)
Re(Z)=5/2
Im(Z)=5/2

Pour la suite je bloque encore...

Oui.
Donc Ω a pour affixe 5/2 + (5/2) i

3°) Montrer que le triangle ΩM n M n+1 est un triangle rectangle isocèle.

Peut être pourrais tu calculer les longueurs ΩMn et ΩM(n+1) et MnM(n+1) ....
Ou, as tu vu l'expression complexe d'une rotation ?

[Kimonotrn]

1)
z1= i(1+i) + 5
= i - 1 + 5
=4 + i


z2=i z1 + 5
=i(4 + i) + 5
=4i - 1 +5
=4 + 4i

2)
Re(Z)=5/2
Im(Z)=5/2

Pour la suite je bloque encore...

Oui.
Donc Ω a pour affixe 5/2 + (5/2) i

3°) Montrer que le triangle ΩM n M n+1 est un triangle rectangle isocèle.

Peut être pourrais tu calculer les longueurs ΩMn et ΩM(n+1) et MnM(n+1) ....

Pour calculer la longueur ΩMn est-ce que je fais 1+i - (5/2 + 5/2i)? Mais ducoup pour ΩM(n+1) je ne vois pas ce que ça serait?

[titine]

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)
Compare les modules et les arguments de ces 2 nombres complexes.

[Kimonotrn]

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)
Compare les modules et les arguments de ces 2 nombres complexes.

Je ne comprends pas, doit-on remplacer Zn? Normalement je sais calculer le module et les arguments mais je ne comprends pas ce que vous avez écris.

[titine]

Es tu d'accord avec ça :

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)

?
De plus je te rappelle que lZ Z'l = lZl * lZ'l et Arg(Z Z') = Arg(Z) + Arg(Z')

Et aussi lil = 1 et Arg(i) = pi/2 !

[Kimonotrn]

Es tu d'accord avec ça :

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)

?
De plus je te rappelle que lZ Z'l = lZl * lZ'l et Arg(Z Z') = Arg(Z) + Arg(Z')

Et aussi lil = 1 et Arg(i) = pi/2 !

Merci pour la précision par rapport au lil=1 je comprends mieux pourquoi Z(n+1) devient iZn mais je ne comprends toujours pas pour le +5?
Ensuite ce qui me pose problème c'est que pour le module nous avons besoin de valeurs uniquement non? Qu'est-ce qu'on fait du Zn qui est dans les résultats des calculs d'affixes des vecteurs? Je suis un peu perdue x)

[titine]

Comprends tu ces calculs ?

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)

Donc
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = i * Affixe du vecteur ΩMn
D'accord ?
Donc lAffixe du vecteur ΩM(n+1)l = lil * lAffixe du vecteur ΩMnl = lAffixe du vecteur ΩMnl car lil = 1
D'accord ?
Que peux tu en déduire pour les longueurs ΩM(n+1) et ΩMn ? Pour le triangle ΩMnM(n+1) ?

Ensuite, raisonne sur les arguments.

[Kimonotrn]

Comprends tu ces calculs ?

Affixe du vecteur ΩMn = Zn - 5/2 - (5/2) i
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = Z(n+1) - 5/2 - (5/2) i = i Zn + 5 - 5/2 - (5/2) i = i Zn - (5/2) i + 5/2 = i (Zn - 5/2 - (5/2)i)

Donc
Affixe du vecteur ΩM(n+1) = i * Affixe du vecteur ΩMn
D'accord ?
Donc lAffixe du vecteur ΩM(n+1)l = lil * lAffixe du vecteur ΩMnl = lAffixe du vecteur ΩMnl car lil = 1
D'accord ?
Que peux tu en déduire pour les longueurs ΩM(n+1) et ΩMn ? Pour le triangle ΩMnM(n+1) ?

Ensuite, raisonne sur les arguments.

Les longueurs ΩM(n+1) et ΩMn sont proportionnelles? Donc le triangle est isocèle?

Arg(Z Z') = Arg(Z) + Arg(Z')
=0+ pi/2
Donc le triangle est isocèle rectangle?

[titine]

Non. Je crois que tu n'as pas compris.
Soit Z l'affixe du vecteur ΩMn et Z' l'affixe du vecteur ΩM(n+1)
On a vu que Z' = i Z
As tu compris pourquoi ?

Donc lZ'l = li Zl = lil * lZl = 1 * lZl = lZl
Or on sait que le module de l'affixe du vecteur AB est la longueur du segment [AB]
D'accord ?
Donc lZ'l = longueur ΩM(n+1)
Et lZl = longueur ΩMn
Donc, comme lZ'l = lZl alors ΩM(n+1) = ΩMn
Ce qui prouve que le triangle est isocèle.
Rappel : un triangle isocèle est un triangle ayant 2 côtés de même longueur.

D'autre part :
Arg(Z') = Arg(i Z) = Arg(i) + Arg(Z) = pi/2 + Arg(Z)
Or Arg(Z) = angle (u ; ΩMn) et Arg(Z') = angle (u ; ΩM(n+1))
D'accord ?
Et angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = angle (ΩMn ; u) + angle (u ; ΩM(n+1)) (relation de Chasles pour les angles)
Donc angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = -Arg(Z) + Arg(Z')
Et comme Arg(Z') = pi/2 + Arg(Z)
alors : angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = pi/2
Ce qui prouve que le triangle est .....

As tu compris ?

[Kimonotrn]

Non. Je crois que tu n'as pas compris.
Soit Z l'affixe du vecteur ΩMn et Z' l'affixe du vecteur ΩM(n+1)
On a vu que Z' = i Z
As tu compris pourquoi ?

Donc lZ'l = li Zl = lil * lZl = 1 * lZl = lZl
Or on sait que le module de l'affixe du vecteur AB est la longueur du segment [AB]
D'accord ?
Donc lZ'l = longueur ΩM(n+1)
Et lZl = longueur ΩMn
Donc, comme lZ'l = lZl alors ΩM(n+1) = ΩMn
Ce qui prouve que le triangle est isocèle.
Rappel : un triangle isocèle est un triangle ayant 2 côtés de même longueur.

D'autre part :
Arg(Z') = Arg(i Z) = Arg(i) + Arg(Z) = pi/2 + Arg(Z)
Or Arg(Z) = angle (u ; ΩMn) et Arg(Z') = angle (u ; ΩM(n+1))
D'accord ?
Et angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = angle (ΩMn ; u) + angle (u ; ΩM(n+1)) (relation de Chasles pour les angles)
Donc angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = -Arg(Z) + Arg(Z')
Et comme Arg(Z') = pi/2 + Arg(Z)
alors : angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = pi/2
Ce qui prouve que le triangle est .....

As tu compris ?

Merci beaucoup!! Je pense avoir compris oui c'est beaucoup plus clair! Merci encore je vais essayer de continuer les autres questions et si je rencontre des problèmes je reviendrai x)

[Kimonotrn]

Non. Je crois que tu n'as pas compris.
Soit Z l'affixe du vecteur ΩMn et Z' l'affixe du vecteur ΩM(n+1)
On a vu que Z' = i Z
As tu compris pourquoi ?

Donc lZ'l = li Zl = lil * lZl = 1 * lZl = lZl
Or on sait que le module de l'affixe du vecteur AB est la longueur du segment [AB]
D'accord ?
Donc lZ'l = longueur ΩM(n+1)
Et lZl = longueur ΩMn
Donc, comme lZ'l = lZl alors ΩM(n+1) = ΩMn
Ce qui prouve que le triangle est isocèle.
Rappel : un triangle isocèle est un triangle ayant 2 côtés de même longueur.

D'autre part :
Arg(Z') = Arg(i Z) = Arg(i) + Arg(Z) = pi/2 + Arg(Z)
Or Arg(Z) = angle (u ; ΩMn) et Arg(Z') = angle (u ; ΩM(n+1))
D'accord ?
Et angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = angle (ΩMn ; u) + angle (u ; ΩM(n+1)) (relation de Chasles pour les angles)
Donc angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = -Arg(Z) + Arg(Z')
Et comme Arg(Z') = pi/2 + Arg(Z)
alors : angle (ΩMn ; ΩM(n+1)) = pi/2
Ce qui prouve que le triangle est .....

As tu compris ?

Pour calculer v0 je dois bien faire z0-w?
=1+i - (5/2 + 5/2i)
=-3/2 - 3/2i

Le résultat est-il correct?

[titine]

Oui !

[Kimonotrn]

Oui !

Bonjour, je dois maintenant démontrer que vn = zn - w est une suite géométrique.
J'ai donc fait vn+1/vn= (zn+1-w)/zn

Or zn+1=i zn + 5

Donc on a ( i zn + 5 - (5/2 + 5/2i) )/ zn
= ( i zn + 5 - 5/2 - 5/2i) / zn

Mais arrivé à là je bloque, je ne sais pas quoi faire, on peut simplifier les zn?

[titine]

En effet z(n+1) = i zn + 5 - 5/2 - 5/2i
Donc z(n+1) = i zn - 5/2 i + 5/2 = i (zn- 5/2 - 5/2 i) = i (zn- w) = i × vn

[Kimonotrn]

En effet z(n+1) = i zn + 5 - 5/2 - 5/2i
Donc z(n+1) = i zn - 5/2 i + 5/2 = i (zn- 5/2 - 5/2 i) = i (zn- w) = i × vn

Merci encore!!
Pour déduire l'expression de zn en fonction de n est-ce que je dois bien faire:
q=i

zn=z0 * qn
=z0* in

Ensuite je dois dire si cette suite peut prendre une infinité de valeurs et justifier.
Je peux dire que oui car un+1 > un alors la suite est croissante? La valeur pour la puissance n est infinie?M

[titine]

Non. Tu confonds les suites (zn) et (vn)
C'est la suite (vn) qui est géométrique de raison i et pour laquelle on peut donc écrire : vn = v0 × i^n
Ensuite, on sait que vn = zn - w
Donc zn = vn + w et tu remplaces vn et w par leurs valeurs.

Que vaut i^0 ? i^2 ? i^3 ? i^4 ? i^5 ? i^6 ?

[Kimonotrn]

Non. Tu confonds les suites (zn) et (vn)
C'est la suite (vn) qui est géométrique de raison i et pour laquelle on peut donc écrire : vn = v0 × i^n
Ensuite, on sait que vn = zn - w
Donc zn = vn + w et tu remplaces vn et w par leurs valeurs.

Que vaut i^0 ? i^2 ? i^3 ? i^4 ? i^5 ? i^6 ?

Ducoup j'obtiens zn= v0 * i^n + 5/2 + 5/2i?

Pour les valeurs de i je ne vois pas où il faut en venir... Il faut dire qu'à partir de i^2 il y aura toujours une valeur négative dans le calcul de i sachant que i^2=-1?
Mais la suite ne prends pas une infinité de valeurs alors? Elle prends les valeurs imposée par i?