Application de R dans Q

[Chab]

Bonjour,

En introduction d'un cours d'analyse, juste après la démonstration de Q sous corps de R, l'exercice suivant est posé :

Quelle condition doivent vérifier les rationnels a,b,c,d pour que le nombre (a+bx)/(c+dx) soit rationnel quel que soit le nombre réel x ?

L'exercice se place avant la démonstration de Q dense dans R.

J'avoue ne pas trop savoir par où débuter n'ayant jamais fait de tel problème dans ma scolarité (je suis en mpsi) et qu'en cours nous n'avons pas vu du tout les structures algébriques (je m'avance un peu eheh)

[jsvdb]

Bonjour Chab

Tu peux poser pour
Considérons la restriction de à (que je note )
est une fonction continue sur ce domaine et vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
Que se passe-t-il si prend deux valeurs distinctes sur ce domaine ?

[jsvdb]

Et d'une manière générale, soit I un intervalle ouvert de IR.
Toute fonction continue de I dans IR qui est censée ne prendre que des valeurs rationnelles est forcément ... ?

[Chab]

Je dirais constante. Sinon elle passe forcément par des irrationnels... Il faut donc que f1 soit factorisable par x avec x(rationnel) en haut et en bas ?

[jsvdb]

Effectivement, il faut qu'il existe un rationnel r unique tel que