1re les dérivées

[jouirsix]

Bonjour ,j'ai ce devoir a faire pour bientot svp aidez moi je ne comprend rien
SOIT f la fonction définie sur R par f(x)=0,5x^2-4x+5

Préliminaire: Donnez la définition de : "f est dérivable en a "
Q1 : Comment s'appelle la courbe f ? Quel est son sommet ? A t-elle un axe de symétrie?
Q2: A l'aide de Geogebra , construire la courbe de f
Q3: Prouver que f est dérivable en 5 et donner f'(5)
Q4: Donner l'équation réduite de la tangente T à la courbe de f au point abscisse 5 . On apelle alors g la fonction affine représentée par la tangente T
Q5: Construire la tangente T sur le graphique précédent . Quelle est , au vu du graphique , la position de la courbe f par rapport a T ?
Q6: On veut justifier par le calcule , la constatation précédente . Pour cela étudiez le signe de la fonction f-g et en déduire la position de la courbe de f par a T ?
Q7:
On considère maintenant la droite D d'équation y =-2x+3
(a) Construire D sur le graphique précèdent
(b)D semble t'elle être tangente a la courbe de f ? Si oui , en quel point ?
(c) Justifiez la précédente affirmation

ou j'en suis dans mon devoir :



1/ La courbe de f est une parabole , son sommet (alpha,beta) , elle a un axe de symetrie si f(x-h)=f(x+h) je crois
3/ je bloque je n'arrive pas a appliqué la formule help

[titine]

Préliminaire : f est dérivable en x0 si et seulement si existe dans R.

??????

1/ La courbe de f est une parabole , son sommet (alpha,beta) , elle a un axe de symetrie si f(x-h)=f(x+h) je crois

La courbe représentative une fonction f définie par f(x) = ax^2 + bx + c est bien une parabole.
Cette parabole a pour sommet un point d'abscisse - b/(2a) . Et d'ordonnée f(-b/(2a))
Cette parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation y = -b/(2a)

Pour Q3 utilise la définition préliminaire après l'avoir correctement recopiée.

[jouirsix]

oui alors la question 1 et 2 et j'ai deja trouvé
donc alpha=4 et beta=-3
l'axe de symetrie a pour equation x=alpha
donc x=4
la actuellement je bloque pour la question 3 , je n'y arrive pas du tous

[titine]

Quelle définition as tu dans ton cours pour f dérivable en a ?

[jouirsix]

oui donc pour la question 3
f(x)=1/2*x^2-4x+5
t=(f(a+h)-f(a))/h=(f(5+h)-f(5))/h=f(5+h)=1/2*(5+h)^2-4*(5+h)+5=
1/2*(h+5)^2-4*(h+5)+5+5/2=(h^2+2*h)/2 = (h^2+2h)/(2h)=h*(h+2)/(2h)=(h+2)/2
puis chercher la limite de t quand h tend vers 0
et je n'arrive pas a resoudre (h+2)/2

[jouirsix]

Quelle définition as tu dans ton cours pour f dérivable en a ?

du coup ?

oui donc pour la question 3
f(x)=1/2*x^2-4x+5
t=(f(a+h)-f(a))/h=(f(5+h)-f(5))/h=f(5+h)=1/2*(5+h)^2-4*(5+h)+5=
1/2*(h+5)^2-4*(h+5)+5+5/2=(h^2+2*h)/2 = (h^2+2h)/(2h)=h*(h+2)/(2h)=(h+2)/2
puis chercher la limite de t quand h tend vers 0
et je n'arrive pas a resoudre (h+2)/2

[titine]

oui donc pour la question 3
f(x)=1/2*x^2-4x+5
t=(f(a+h)-f(a))/h=(f(5+h)-f(5))/h=f(5+h)=1/2*(5+h)^2-4*(5+h)+5=
1/2*(h+5)^2-4*(h+5)+5+5/2=(h^2+2*h)/2 = (h^2+2h)/(2h)=h*(h+2)/(2h)=(h+2)/2
puis chercher la limite de t quand h tend vers 0
et je n'arrive pas a resoudre (h+2)/2

Quand t tend vers 0 , (h+2) tend vers 2
(Si t est un nombre très, très proche de 0 alors (h+2) est très, très proche de 2)
Et alors (h+2)/h tend vers 2/2 = 1

Conclusion : f est dérivable en 5 et f'(5) = 1

[jouirsix]

d'accord et pour la question 4 j'applique cette formule :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
du coup
y=f'(5)(x-5)+f(5)? je suis pas sure que ca soit juste

[titine]

d'accord et pour la question 4 j'applique cette formule :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
du coup
y=f'(5)(x-5)+f(5)? je suis pas sure que ca soit juste

Oui bien sûr.
Ce qui donne :
y = x - 5 - 2.5
y = x - 7.5

Donc la fonction affine g est définie par g(x) = x - 7.5

[jouirsix]

du coup je marque T:y=x-7,5 ?

[titine]

du coup je marque T:y=x-7,5 ?

Oui.
T a pour équation y=x-7,5

Et g est la fonction affine définie par g(x)=x-7,5

[jouirsix]

voici le graphique geogebra , je ne comprend pas question 5

[jouirsix]

bon malheureusement je n'arrive pas a mettre le document joint (le graphique geogebra) du coup pourriez vous m'expliquer la question 5 svp

[titine]

bon malheureusement je n'arrive pas a mettre le document joint (le graphique geogebra) du coup pourriez vous m'expliquer la question 5 svp

On te demande la position de la parabole par rapport à la droite T.
Tu dois voir que la courbe est située au dessus de T. Non ?

Pour démontrer cela on te demande dans la question suivante d'étudier le signe de f(x) - g(x)
Je te laisse faire.
Je m'absente pour la soirée.

Bon courage !

[jouirsix]

ok merci pour ces explications je vais essayer ? tu pourras me dire si c'est juste demain ? merci et bonne soirée

[jouirsix]

d'accord et pour la question 4 j'applique cette formule :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
du coup
y=f'(5)(x-5)+f(5)? je suis pas sure que ca soit juste

Oui bien sûr.
Ce qui donne :
y = x - 5 - 2.5
y = x - 7.5
Mais f’(5) et f(5) c’est différent ? Nan ? car moi je trouve pour f’(5)=1 et f(5) =-5/2 donc je ne comprend pas
Donc la fonction affine g est définie par g(x) = x - 7.5

[titine]

y=f'(5)(x-5)+f(5)
f'(5)=1 et f(5) = -2,5
y = 1(x-5) - 2,5 = x - 7,5

[jouirsix]

D’accord pour la question 6 je dois faire une inéquation ou une soustraction c’est a dire je dois soustraire f-g ou faire Cf>Cg et résoudre car lorsque je fais f-g je trouve une fonction polynôme et je ne sais pas quoi faire ensuite

[titine]

D’accord pour la question 6 je dois faire une inéquation ou une soustraction c’est a dire je dois soustraire f-g ou faire Cf>Cg et résoudre car lorsque je fais f-g je trouve une fonction polynôme et je ne sais pas quoi faire ensuite

On te demande d'étudier le signe de f(x)-g(x)
Pour cela , delta, puis tableau de signe ....

En fait, même pas la peine de calculer delta car :
 f(x)-g(x) = 0,5x^2 - 4x + 5 -  x + 7,5 = 0,5x^2 - 5x + 12,5 = 0,5 (x^2 - 10x + 25) = 0,5 (x -5)^2
Et 0,5 (x-5)^2 est toujours positif.
Donc, quelque soit x, f(x) - g(x) >= 0
Donc f(x) >= g(x)
Donc la courbe de f est toujours au dessus de la courbe de g.