Classe d'équivalence
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Axelamour
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par Axelamour » 09 Oct 2019, 23:00
Salut à tous. Je bloque sur un exercice.
Pour chaque k€Z, Classe(k) désigne la classe d'équivalence de k pour la relation de congruence modulo n ( n€N).
Montrer que Cl(0), Cl(1),....., Cl(n-1) sont les seules classes d'équivalence. Autrement dit, montrer que {Cl(k) / k€Z} = { Cl(0), Cl(1),....., Cl(n-1) }.
Je procède par double inclusion. J'ai réussi a montrer l'inclusion inverse, mais je bloque sur l'inclusion directe. Comme indice, il faut utiliser la division écludienne. Aidez- moi svp. Merci!
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infernaleur
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par infernaleur » 09 Oct 2019, 23:45
Salut,
avec l'indication tu ne devrais pas avoir de mal normalement, tu peux écrire le début de ton raisonnement pour voir où est-ce que tu bloques.
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Axelamour
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par Axelamour » 10 Oct 2019, 21:15
J'ai commencé en disant que pour k € Z, l'ensemble des classes d'équivalence va de -i fini à + infini. Donc{Cl(0), Cl(1),....,Cl(n-1)} inclut dans {Cl(k)/k€Z}
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infernaleur
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par infernaleur » 11 Oct 2019, 00:55
L'inclusion que tu as montré est trivial, je te parlais de l'autre inclusion.
Tu commences donc par soit
Donc il existe
tels que
Maintenant tu utilises ton indication et tu fais une division euclidienne (en se rappelant que
...)
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Axelamour
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par Axelamour » 11 Oct 2019, 13:58
Je n'arrive pas à comprendre. Peux-tu rédiger s'il te plaît ?
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sofianmakhlouf
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par sofianmakhlouf » 11 Oct 2019, 14:13
Soit x dans Z
Soit r le reste de la division euclidienne de x par n. On a 0=< r =< n-1
On a n divise x-r
donc cl(x)=cl(r)
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infernaleur
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par infernaleur » 11 Oct 2019, 14:46
Axelamour a écrit:Je n'arrive pas à comprendre. Peux-tu rédiger s'il te plaît ?
Tu peux écrire la division euclidienne de k par n, en précisant bien tout ce que tu écris ( c’est à dire où vivent toutes les variables que tu va écrire)
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Axelamour
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par Axelamour » 11 Oct 2019, 16:51
Mais pourquoi si n divise x-r, alors cl(x) = cl(r) ?
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 11 Oct 2019, 16:52
Peux-tu rappeler la définition de "x congru à y modulo n" ?
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Axelamour
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par Axelamour » 11 Oct 2019, 16:56
Ah oui je comprends. Comme n divise x-r , alors x est en relation avec r ce qui équivaut à dire que Cl(x) = cl(r). Merci
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