Congruences et divisibilité

[PlopStyle]

Bonjour, c'est la première fois que j'écris ici.
J'ai un dm à faire et je bloque.
n=10xA+b

1) Déterminer le reste de la division euclidienne de 40 par 13
40=13x3+1, ainsi le reste est de 1
2) Montrer que n est divisible par 13 ssi, a+4b est divisible par 13

Voici mon raisonnement :
A+4b congru a 0 (13)
b=n-10A
a+4(n-10A) congru a 0 (13)
A+4n-40A congru a 0 (13)
A+4n congru a 40A (13) or le reste de 40 par la division euclidienne de 13 est 1 :
Ainsi : A+4n congru a 1A (13)
4n congru a 0 (13)
n congru a 0 (13)
Le début est t'il bien ?

Merci de votre aide

[Rdvn]

Bonjour,
Voici une piste pour exploiter la question 1) :
Montrer que n est divisible par 13 si et seulement si 4n est divisible par 13
Bon courage

[PlopStyle]

Bonjour, merci beaucoup de votre réponse mais cela je l'ai déja prouvé, je demande si le début de mon raisonnement est juste

[LB2]

Tout ton raisonnement est juste! Ce qu'il faut justifier c'est le passage de 4n divisible par 13 à n divisible par 13.
Tu peux le faire en faisant une disjonction de cas (longue) en testant tous les restes possibles pour n, pour démontrer l'implication 4n divisible par 13 => n divisible par 13

[PlopStyle]

Merci beaucoup pour vos réponses et votres aides, mais je ne peux pas tout simplement faire :
4n congru a 0 (13)
4n/4 congru a 0/4 (13)
Ce qui fait 4 congru a 0 (13)

[LB2]

Non justement , ce n'est pas vrai en général modulo d (d'ailleurs petite coquille dans ton message, cela ferait n congru à 0 modulo 13)
En termes mathématiques, l'anneau Z/dZ n'est pas intègre si d est quelconque.

Autrement dit, modulo d, un produit nul 4*n = 0 n'implique pas que l'un des facteurs est nul.

Contre exemple : Modulo 6, 2*3 est congru à 0 mais ni 2 ni 3 ne sont congrus à 0.

Ici, ton argument fonctionne car 13 est un nombre premier, mais il faut le justifier à la main car tu n'as pas la justification théorique plus générale suivante "Z/pZ est un corps si p premier, en particulier, un anneau intègre"

[Lostounet]

Merci beaucoup pour vos réponses et votres aides, mais je ne peux pas tout simplement faire :
4n congru a 0 (13)
4n/4 congru a 0/4 (13)
Ce qui fait 4 congru a 0 (13)

Salut
On ne peut pas diviser deux côtés de l'égalité d'une congruence (contrairement aux équations usuelles).

Il existe une notion de multiplication des deux côtés par un "inverse multiplicatif" (c'est à dire multiplier les deux côtés par quelque chose qui va chasser le 4) mais c'est hors programme.

[Rdvn]

Bonsoir,
On vient à bout de la difficulté par le théorème de Gauss (qui est enseigné en terminale, spécialité math) :
13 et 4 sont premiers entre eux, donc lorsque 13 divise 4n ,13 divise n.
Bon courage

[LB2]

Très bon argument de Rdvn qui permet d'éviter la disjonction de cas fastidieuse